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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a ln x - x + \frac{1}{x}$ （ $a$ 为正实数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 极值点的个数；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
（i）证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ；
（ii）设 $f (x)$ 恰有三个不同的零点 $t_{1}, t_{2}, t_{3} (t_{1} < t_{2} < t_{3})$ .若 $0 < m < n$ ，且 $m (1 - ln m) = n (1 - ln n)$ ，证明： $m + t_{1} t_{2} t_{3} n < e$ .

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2、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A E C$ ．

(2)、若平面 $D A E$ 与平面 $A E C$ 的夹角为 $60^{\circ}, A P = 1, A D = \sqrt{3}$ ，求 $A B$ 的长．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为2的等差数列，且满足 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使不等式 $S_{n} > a_{n}$ 成立的 $n$ 的最小值．

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5、若函数 $f (x) = m x - ln x + m - 2$ 有两个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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6、已知双曲线 $C$ 的对称中心是原点，对称轴是坐标轴，若 $x$ 轴上一点 $P (2, 0)$ 到双曲线 $C$ 的渐近线距离为 $\sqrt{3}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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7、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = 1 ， a_{5} = 4$ ，则 $a_{3} =$ ．

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8、端午节期间，某城市举行龙舟比赛，龙舟比赛途经 $E$ 桥、 $F$ 桥、 $G$ 桥、 $H$ 桥及 $I$ 桥，活动期间在5座桥边各设置1个志愿者服务点．现有5名志愿者参加其中三座桥一 $G$ 桥、 $H$ 桥及 $F$ 桥的服务，要求这三个服务点都有人参加，记事件A为“甲在 $G$ 桥服务点”，事件 $B$ 为“乙和丙分到一起”，则（）

A、事件A与事件 $B$ 相互独立 B、 $P (A) = \frac{1}{3}$ C、 $P (B) = \frac{9}{25}$ D、 $P (B| A) = \frac{6}{25}$

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9、 $\vec{a} = (λ, 1), \vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{b}$ ，则（）

A、 $λ = 3$ B、 $\vec{a} // \vec{b}$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 2 \sqrt{2}$

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10、函数 $f (x) = x^{3} + x - 2$ 的图象在点 $P$ 处的切线平行于直线 $y = 4 x - 1$ ，则 $P$ 点的坐标可以为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 8)$ C、 $(- 1, - 4)$ D、 $(1, 4)$

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11、 $P$ 是直线 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 上的一动点，过 $P$ 作圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，则四边形 $P A C B$ 面积的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{2}$

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12、某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像 $A H$ 的高度，在距离平台 $1.2$ 米高的 $C$ 处测得石像顶的仰角为 $60^{\circ}$ ；后退18米到达距离平台 $1.2$ 米高的 $D$ 处测得石像顶的仰角为 $30^{\circ}$ ，则石像的高度为（）米．

A、 $9 \sqrt{3} + 1.2$ B、 $9 \sqrt{6} + 1.2$ C、 $10 \sqrt{3} + 1.2$ D、 $18 \sqrt{3} + 1.2$

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13、某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布 $N (72, 8^{2})$ ，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（）
参考数据： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

A、455 B、2718 C、6346 D、9545

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14、在 ${(2 x^{3} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是（）

A、 $- 80$ B、 $- 60$ C、60 D、80

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15、设 $α$ 是空间中的一个平面， $l, m, n$ 是三条不同的直线，则下列说法对的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $m \subset α$ ， $n ⊥ α$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l / / m$ C、若 $l / / m$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ 则 $l ⊥ n$ D、若 $l / / m$ ， $m / / n$ ， $l ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$

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16、集合 $A = \{x | y = ln (x - 1)\}$ ， $B = \{y | y = \sqrt{x} + 1\}$ ， $x \in A$ 是 $x \in B$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知 $α$ 是三角形一内角，若 $tan α = 2$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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18、已知 $(1 + i) z = 2 + 2 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、2 C、 $i$ D、0

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ， $A B = A D = 2 B C = 2$ ， $△ P A D ≌ △ B A D$ .

(1)、 $M$ 为 $P C$ 上一点，且 $\vec{P M} = λ \vec{M C}$ ，当 $P A //$ 平面 $D M B$ 时，求实数 $λ$ 的值；

(2)、设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ，证明 $l //$ 面 $A B C D$ ；

(3)、当平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成的锐二面角的大小为 $45^{\circ}$ 时，求 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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20、某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人累计获胜三局，则此人获得比赛胜利，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且每局比赛相互独立.

(1)、求丙每局都获胜的概率

(2)、求甲获得比赛胜利的概率.

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