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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \cos 2 x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (\frac{π}{6} + Δ x) - f (\frac{π}{6})}{Δ x} =$ .

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2、若 $\log_{a} b > 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a < b$ B、 $a b + 1 > a + b$ C、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ D、 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$

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3、下列说法正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 定义域为 $[1, 3]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[0, 1]$ B、若定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 值域为 $[1, 5]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的值域为 $[0, 2]$ C、函数 $y = {(\frac{1}{5})}^{x}$ 与 $y = - {log}_{5} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称 D、 $a > b$ 成立的一个必要条件是 $a - 1 > b$

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4、已知函数 $f (x) = 2 m x^{2} - 2 (4 - m) x + 1, g (x) = m x$ ，若对于任意的实数 $x, f (x)$ 与 $g (x)$ 至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 8)$ C、 $[2, 8)$ D、 $(- \infty, 0)$

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5、根据公式 $\sin 3 α = 3 \sin α - 4 \sin^{3} α$ ， $\sin 10 °$ 的值所在的区间是（）

A、 $(\frac{1}{7}, \frac{1}{6})$ B、 $(\frac{1}{6}, \frac{1}{5})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{3})$

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, y = f (x) + e^{x}$ 是偶函数， $y = f (x) - 3 e^{x}$ 是奇函数，则 $f (ln 3)$ 的值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、3 C、 $\frac{10}{3}$ D、 $\frac{11}{3}$

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7、设正实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a^{2} - a b + 4 b^{2} - c = 0$ ，则当 $\frac{c}{a b}$ 取得最小值时， $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} - \frac{6}{c}$ 的最大值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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8、函数 $f (x) = \frac{x cos x}{e^{|x| - 1}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9、设函数 $f (x) = 3^{x (x - a)}$ 在区间 $(0, \frac{3}{2})$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $[- 3, 0)$ C、 $(0, 1]$ D、 $[3, + \infty)$

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10、已知命题 $p : \forall x > 1, |x| > 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\exists x > 1, |x| \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1, |x| \leq 1$ C、 $\forall x > 1, |x| < 1$ D、 $\forall x \leq 1, |x| > 1$

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11、已知集合 $A = \{x |y = \sqrt{2 x - x^{2}}\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x} + 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, 2]$ D、 $[0, 2]$

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12、我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|P F_{1}| |P F_{2}| = 4$ ，化简可得卡西尼卵形线 $C : x^{2} + y^{2} + 1 = 2 \sqrt{x^{2} + 4}$ ，则（）

A、曲线C既是中心对称图形也是轴对称图形 B、曲线C关于直线 $y = x$ 对称 C、曲线C都在圆 $x^{2} + y^{2} = 6$ 内 D、曲线C与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 没有公共点

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13、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x < 0\}, B = \{x| x > 0\}$ ，则（）

A、 $A \cap (∁_{U} B) = \emptyset$ B、 $A \cup B = A$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \subseteq B$

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14、已知关于x的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $a < 0$ B、不等式 $b x + c > 0$ 的解集是 $\{x | x < - 6\}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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15、下列说法正确的有（）

A、若事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，则 $P (A B) = 0$ B、若事件 $A$ 与事件 $B$ 是对立事件，则 $P (A + B) = 1$ C、把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 D、某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件

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16、若直线 $l$ 的方程为 $y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}, a b > 0, a c < 0$ ，则此直线必不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}, a_{2 k}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2 k - 1} \leq a_{2 k} (k = 1, 2, 3, \dots)$ ．

(1)、求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ ；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；

(3)、记 $f (n) = \frac{1}{2} (\frac{|\sin n|}{\sin n} + 3)$ ， $T_{n} = \frac{{(- 1)}^{f (2)}}{a_{1} a_{2}} + \frac{{(- 1)}^{f (3)}}{a_{3} a_{4}} + \frac{{(- 1)}^{f (4)}}{a_{5} a_{6}} + \dots + \frac{{(- 1)}^{f (n + 1)}}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ ．

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18、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $C_{1} : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ ．
（1）过 $C_{1}$ 的左顶点引 $C_{1}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交 $C_{1}$ 于P，Q两点，若l与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证： $O P ⊥ O Q$ ；
（3）设椭圆 $C_{2} : 4 x^{2} + y^{2} = 1$ ，若M，N分别是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点，且 $O M ⊥ O N$ ，求证：O到直线MN的距离是定值．

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19、2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

喜欢奥数
不喜欢奥数
总计
已选奥数课（A组）
150
50
200
未选奥数课（B组）
90
110
200
总计
240
160
400

(1)、若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？

(2)、能否有 $99.5 %$ 的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？
附：
$P (χ^{2} \geq α)$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$α$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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20、已知 $f (x) = x + a \sin x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (π,π)$ 处的切线斜率为 $2$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求不等式 $f (x + 1) + f (3 - 2 x) > 0$ 的解集.

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	喜欢奥数	不喜欢奥数	总计
已选奥数课（A组）	150	50	200
未选奥数课（B组）	90	110	200
总计	240	160	400

$P (χ^{2} \geq α)$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$α$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$