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相关试卷

1、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为8，二面角 $C_{1} - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，且 $A C = B C$ ， $C C_{1} = 2$ ，则点 $A_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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2、掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件 $A$ 表示“两个点数都是偶数”，事件 $B$ 表示“两个点数都是奇数”，事件 $C$ 表示“两个点数之和是偶数”，事件 $D$ 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 是对立事件 B、 $A$ 与 $C \cap D$ 是互斥事件 C、 $B$ 与 $D$ 是相互独立事件 D、 $B$ 与 $C \cup D$ 是相互独立事件

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3、设 $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m // n$ C、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$

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4、某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是 $5 : 4 : 3$ ，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为 $n$ 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则 $n =$ （）

A、100 B、120 C、200 D、240

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(2, 1)$

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6、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{8}$ 的平均数为10，方差为10，则 $3 x_{1} + 2, 3 x_{2} + 2, 3 x_{3} + 2, \dots, 3 x_{8} + 2$ 的平均数和方差分别为（）

A、32，90 B、32，92 C、30，90 D、30，92

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7、下列命题中正确的是（）

A、零向量没有方向 B、共线向量一定是相等向量 C、若 $λ$ 为实数，则向量 $\vec{a}$ 与 $λ \vec{a}$ 方向相同 D、单位向量的模都相等

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8、在复平面中，复数 $z = \frac{2 - 3 i}{1 + i}$ 对应的点的坐标在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x} - x, a \in R, f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数．

(1)、证明： $f^{'} (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上存在唯一零点 $x_{0}$ ；

(2)、设函数 $g (x) = (x^{2} - a x + 1) e^{x} - (\frac{1}{2} x^{2} + x + 1)$ ．
①当 $a = \frac{2 e - 1}{e}$ 时，求函数 $g (x)$ 的单调区间；
②当 $a \in (- \infty, \frac{e - 4}{2})$ 时，讨论函数 $g (x)$ 零点的个数．

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10、为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量 $y$ （单位：万台）关于 $x$ （年份）的线性回归方程 $y = 4.7 x - 9459.2$ ，且销量 $y$ 的方差为 $s_{y}^{2} = \frac{254}{5}$ ，年份 $x$ 的方差为 $s_{x}^{2} = 2$ ．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的相关系数 $r$ ，并据此判断电动汽车销量 $y$ 与年份 $x$ 的线性相关性的强弱．

(2)、该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90
依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？

(3)、在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．
①参考数据： $\sqrt{5 \times 127} = \sqrt{635} \approx 25$ ．
②参考公式：线性回归方程为 $y = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，若 $|r| > 0.9$ ，则可判断 $y$ 与 $x$ 线性相关较强；
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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11、规定 $C_{x}^{m} = \frac{x (x - 1) \dots (x - m + 1)}{m ！}$ ，其中 $x \in R, m$ 是正整数，且 $C_{x}^{0} = 1$ ，这是组合数 $C_{n}^{m}$ ( $n, m$ 是正整数，且 $m \leq n$ )的一种推广．

(1)、求 $C_{- 15}^{3}$ 的值；

(2)、设 $x > 0$ ，当 $x$ 为何值时， $\frac{C_{x}^{3}}{{(C_{x}^{1})}^{2}}$ 取得最小值?

(3)、组合数的两个性质：① $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ； ② $C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1} = C_{n + 1}^{m}$
是否都能推广到 $C_{x}^{m}$ ( $x \in R, m$ 是正整数)的情形?若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．

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12、现有两台车床加工同一型号的零件.第1台车床的正品率为 $95 %$ ，第2台车床的正品率为 $93 %$ ，将加工出来的零件混放在一起.已知第1，2台车床加工的零件数分别为总数的 $60 %, 40 %$ .

(1)、从混放的零件中任取1件，如果该零件是次品，求它是第2台车床加工出来的概率；

(2)、从混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互独立.用 $X$ 表示这10次抽取的零件是次品的总件数，试估计 $X$ 的数学期望 $E (X)$ .

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13、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 \ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设 $g (x) = x^{3} + \frac{3}{x} - 3$ ，证明： $f (x) \leq g (x)$

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14、 ${(x^{2} + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y})}^{7}$ 展开式中的常数项为.

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15、对于随机事件 $A, B$ ，记 $\bar{A}$ 为事件 $A$ 的对立事件，且 $P (A) = \frac{2}{3}, P (B ∣ A) = \frac{2}{5}, P (\bar{A} ∣ B) = \frac{3}{7}$ ，则 $P (B) =$ .

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16、关于函数 $f (x) = (2 x - x^{2}) e^{x}$ ，下列结论错误的是（）

A、 $f (x) > 0$ 的解集是 ${x | 0 < x < 2}$ B、 $f (- \sqrt{2})$ 是极小值， $f (\sqrt{2})$ 是极大值 C、 $f (x)$ 没有最小值，也没有最大值 D、 $f (x)$ 有最大值，没有最小值

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17、随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ 且 $P (X \leq 2) = 0.5$ ，随机变量 $Y \sim B (3, p)$ ，若 $E (Y) = E (X)$ ，则（）

A、 $μ = 2$ B、 $D (X) = 2 σ^{2}$ C、 $p = \frac{2}{3}$ D、 $D (3 Y) = 2$

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18、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且满足 $f^{'} (x) - 2 f (x) < 0, f (0) = 1$ ，则（）

A、 $e^{2} f (- 1) < 1$ B、 $f (1) > e^{2}$ C、 $f (2) > e^{4}$ D、 $f (2) < e^{2} f (1)$

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19、将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（）

A、90种 B、150种 C、180种 D、250种

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20、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 2) = 0.6$ ，则 $P (0 < ξ < 2)$ 等于（）

A、0.4 B、0.3 C、0.2 D、0.1

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性别	购买非电动汽车	购买电动汽车	总计
男性	39	6	45
女性	30	15	45
总计	69	21	90

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828