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相关试卷

1、若函数 $f (x)$ 满足对于任意的 $x \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ ， $(x - 1) [f (x) - f (\frac{1}{x})] < 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为“反转函数”.已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x}$ ， $g (x) = f (x) - f (\frac{1}{x})$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 为“反转函数”.

(2)、已知 $g (x)$ 有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .
①求a的取值范围；
②证明： $x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} > 6 a$ .

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2、在二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，所有偶数项的二项式系数之和为32．

(1)、求n；

(2)、求第4项的系数；

(3)、求 $(x^{3} + 1) {(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式的常数项．

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3、若函数 $f (x)$ 的定义域为D，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，则称 $f (x)$ 为单射函数．已知集合 $A = {- 1, - 2, 0, 3, 5}$ ，且 $a \in A$ ， $b \in A$ ，则函数 $g (x) = a x + \frac{b}{x}$ 是单射函数的概率为．

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4、袋子中有10个大小相同的小球，其中6个黑球，4个白球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次、第2次均摸到黑球的条件下，第3次摸到黑球的概率为．

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5、已知函数 $f (x)$ 有2个极值点，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \sin x + 3 x$ B、 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ C、 $f (x) = (x^{2} - x) e^{x}$ D、 $f (x) = x \ln x$

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6、若随机变量 $X \sim N (0, 2^{2})$ ， $Y \sim N (0, 3^{2})$ ，则（）

A、 $P (X \leq 0) = 0.5$ B、 $P (X \leq - 2) = P (X \geq 2)$ C、 $P (X \leq - 2) = P (Y \geq 2)$ D、 $P (X \leq - 2) < P (Y \geq 2)$

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7、已知定义域均为 $R$ 的函数 $f (x), g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x), g^{'} (x)$ ，且 $g (x) > 0, f (5) = g (5), \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{{[g (x)]}^{2}} < 0$ ，则不等式 $f (x) < g (x)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 5)$ B、 $(5, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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8、两批同种规格的产品，第一批占70%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%．将这两批产品混合，从混合产品中任取1件，则这件产品是次品的概率为（）

A、5.5% B、5.6% C、5.7% D、5.8%

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x + 2} - a x$ ， $x \in [1, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f^{'} (x) \leq 0$ ，则a的最小值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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10、设 $α, β$ 是两个不同的平面， $l, m$ 是两条直线，且 $m \subset α, l ⊥ α$ .则“ $l ⊥ β$ ”是“ $m / / β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、设数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1}$ 为常数 $(a_{1} \neq \frac{3}{5})$ ，且 $a_{n + 1} = 3^{n} - 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明： $\{a_{n} - \frac{3^{n}}{5}\}$ 是等比数列；

(2)、若 $a_{1} = \frac{3}{2}, \{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项：若不存在，请说明理由．

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是递增数列，求 $a_{1}$ 的取值范围．

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12、已知复数 $z = 2 - 3 i$ ，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、z的模等于13 B、z在复平面内对应的点位于第四象限 C、z的共轭复数为 $- 2 - 3 i$ D、若 $z (m + 4 i)$ 是纯虚数，则 $m = - 6$

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13、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a x ^{3} - x, x > a \\ - x ^{2}, x \leq a \end{matrix}$ 给出下列四个结论：
①当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值为0；
②当 $a = 7$ 时，函数 $f (x)$ 是增函数；
③若函数 $f (x)$ 存在两个零点，则 $0 < a < 1$ ；
④若直线 $y = a x$ 与曲线 $y = f (x)$ 恰有2个交点，则 $a < 0$ .
其中所有正确结论的序号是.

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14、已知函数 $f (x) = a e^{x}, g (x) = \ln x + b (a, b \in R)$ .

(1)、当 $b = 1$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、已知直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 是曲线 $y = g (x)$ 的两条切线，且直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 的斜率之积为1.
（i）记 $x_{0}$ 为直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 交点的横坐标，求证： $x_{0} < 1$ ；
（ii）若 $l_{1} 、 l_{2}$ 也与曲线 $y = f (x)$ 相切，求 $a, b$ 的关系式并求出 $b$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x + 2)$ .
（1）当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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16、已知 $\vec{a} = (2 \sin x, \cos^{2} x)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos x, 2)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值．

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17、已知两个不同的正数 $a, b$ 满足 $\frac{{(1 + a)}^{3}}{a} = \frac{{(1 + b)}^{3}}{b}$ ，则 $a b$ 的取值范围是．

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18、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设 ${(sin B - sin C)}^{2} = {sin}^{2} A - sin B sin C$ ，则 $A =$ .

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19、已知复数 $z = a + b i (a \neq 0, a, b \in R)$ ，则当 $\frac{b}{a} =$ 时，复数 $\frac{z}{1 + i}$ 对应的点在虚轴上.

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20、设函数 $f (x) = 1 - \frac{ln |x|}{x}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $1 - \frac{1}{e}$ C、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有四个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $(1 - \frac{1}{e}, 1 + \frac{1}{e})$ D、函数 $y = f (x) + f (2 x)$ 的图象关于点 $(0, 2)$ 对称

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