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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $\vec{a} = (2, 0)$ ．

(1)、若 $| \vec{b} | = 2$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ， $λ \in R$ ，求 $| \vec{a} + λ \vec{b} |$ 的最小值．

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a \cos C + \sqrt{3} c \sin A = b + c$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为 $9 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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3、某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示．

(1)、求a的值；

(2)、求所有受灾居民的经济损失的平均值；

(3)、现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000，8000)的居民中随机抽取8人，则在[4000，6000)的居民有多少人．

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4、如图，在平面中，圆 $O$ 是半径为1的圆， $O A = 2$ ，设 $B$ ， $C$ 为圆上的任意2个点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B C}$ 的取值范围是.

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5、 $i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{2024} =$ .（ $i$ 为虚数单位）

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6、如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，点P是AD上的动点，将 $△ A D E, △ C D F$ 分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点G，则下列结论正确的是（）

A、BG⊥EF B、G到平面DEF的距离为 $\frac{2}{3}$ C、若BG∥面EFP，则二面角D−EF−P的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、四面体G−DEF外接球表面积为 $24 π$

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7、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ ，其中 $x_{1}$ 是最小值， $x_{6}$ 是最大值，则（）

A、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的平均数 B、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的中位数等于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的中位数 C、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的标准差不小于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的标准差 D、 $x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的极差不大于 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{6}$ 的极差

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8、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, x - 1) ， \overset{⃑}{b} = (x, 2)$ ，则（）

A、 $\overset{⃑}{a} \neq \overset{⃑}{b}$ B、若 $\overset{⃑}{a} / / \overset{⃑}{b}$ ，则 $x = 2$ C、若 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $x = \frac{2}{3}$ D、 $|\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}| \geq \sqrt{2}$

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9、球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为 $R$ ，球缺的高为 $h$ ，则球缺的体积 $V = π h^{2} (R - \frac{h}{3})$ .圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为（）

A、 $\frac{64 π}{75}$ B、 $\frac{62 π}{75}$ C、 $\frac{21 π}{25}$ D、 $\frac{23 π}{25}$

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10、在 $△ A B C$ 中， $\overset{⃑}{B D} = 2 \overset{⃑}{D A}$ ，若 $\overset{⃑}{C B} = λ \overset{⃑}{C A} + μ \overset{⃑}{C D}$ ，则 $\frac{λ}{μ}$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、下列命题正确的是（）

A、对于任意非零向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ ，若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量相等，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ； B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 一定成立； C、向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 是共线向量，则 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点一定共线； D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ ，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 所在直线的夹角是 $30 °$ ．

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12、若m、n、l表示不同的直线，α、β表示不同的平面，则下列推理正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ，则 $m / / n$ D、若 $m / / α$ ， $m / / β$ ，则 $α / / β$

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13、甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为（）

A、0.9 B、0.8 C、0.7 D、0.2

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14、在 $△ A B C$ 中，“ $A < 30 °$ ”是“ $\sin A < \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、设复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) \cdot z = 5 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $- 2 + i$

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16、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = x + a + \ln (a x)$ （ $a > 0$ ）．

(1)、求函数 $h (x) = f (x) - x - 1$ 的最小值；

(2)、若 $x f (x) - g (x) \geq - e$ 恒成立，求a的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $(\frac{1^{2} + 1}{1^{2}}) \times (\frac{2^{2} + 1}{2^{2}}) \times \dots \dots \times (\frac{n^{2} + 1}{n^{2}}) < e^{\frac{7}{4}}$ ．

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17、如图，已知边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ ，以边 $A B$ 所在直线为旋转轴，其余三边旋转 $120 °$ 形成的面围成一个几何体 $A D F - B C E$ ．设 $P$ 是 $\overset{⌢}{C E}$ 上的一点， $G$ ， $H$ 分别为线段 $A P$ ， $E F$ 的中点．

(1)、证明： $G H / /$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若 $B P ⊥ A E$ ，求平面 $B P D$ 与平面 $B P A$ 夹角的余弦值；

(3)、在（2）的条件下，线段 $A E$ 上是否存在点 $T$ ，使 $B T ⊥$ 平面 $B P D$ ，证明你的结论．

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18、已知抛物线E： $y = x^{2}$ ，过点 $T (1, 2)$ 的直线与E交于A，B两点，设E在点A，B处的切线分别为 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为P．

(1)、若点A的坐标为 $(- 1, 1)$ ，求 $△ O A B$ 的面积（O为坐标原点）；

(2)、证明：点P在定直线上．

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19、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为d，前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{10} = 100$ ， $a_{3} + a_{5} = 14$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知等比数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为q， $b_{1} = a_{1}$ ， $q = d$ ，设 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - x - 1 - \ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上是否有零点，并说明理由．

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