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相关试卷

1、在等腰梯形ABCD中，已知 $A B // D C$ ， $A B = 4$ ， $A D = B C = 2$ ， $\frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|} \cdot \frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} = \frac{1}{2}$ ，点E，F分别在线段BC和CD上，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最大值为．

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2、著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如 $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$ ．已知 $2310 = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n}$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 均为质数，若从 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ 中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为．

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3、已知事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，且 $P (A) = 0.5$ ， $P (B) = 0.2$ ，则 $P (A \cup B) =$ ．

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4、已知在复平面内，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数是 $2 + i$ ， $\vec{A C}$ 对应的复数是 $3 - 2 i$ ，则向量 $\vec{B C}$ 对应的复数为．

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点P为平面 $C D D_{1} C_{1}$ 上一动点，则下列结论正确的是（）

A、当点P为 $D D_{1}$ 的中点时，直线CP与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、当点P在棱 $C_{1} D_{1}$ 上时， $A P + P B_{1}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、当点P在正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 内时，若 $B_{1} P$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成的角为45°，则点P的轨迹长度为 $π$ D、该正方体被过 $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 中点的平面 $α$ 分割成两个空间几何体 $Ω_{1}$ 和 $Ω_{2}$ ，某球能被整体放入 $Ω_{1}$ 或 $Ω_{2}$ 内，则该球的表面积的最大值为 $(12 - 6 \sqrt{3}) π$

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6、先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件 $A =$ “两次掷出的点数之和是 $5$ ”，事件 $B =$ “第一次掷出的点数是奇数”，事件 $C =$ “两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $P (A) = \frac{1}{9}$ C、 $P (B) = \frac{1}{2}$ D、 $B$ 与 $C$ 相互独立

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7、已知直线a，b和平面 $α$ ， $β$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a ⊥ b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b ∥ α$ B、若 $a ∥ b$ ， $a ⊥ α$ ，则 $b ⊥ α$ C、若 $α ⊥ β$ ， $a \subseteq α$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $a ∥ α$ ， $a \subseteq β$ ， $α \cap β = b$ ，则 $a ∥ b$

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8、已知菱形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 向上折起，得到三棱锥 $A - B C D$ ， $E, F$ 分别是棱 $A B, B C$ 的中点， $A B = B D = 2$ ， $Q$ 为棱 $C D$ 上的一点，且 $D E / /$ 平面 $A F Q$ ，则 $\frac{|D Q|}{|Q C|}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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9、钟鼓楼是宜宾市老城区中山街的一座标志性建筑，某同学为测量钟鼓楼的高度MN，在钟鼓楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为15m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，钟鼓楼顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得钟鼓楼顶部M的仰角为15°，则钟鼓楼的高度约为（）

A、21m B、26m C、30m D、45m

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10、在 $△ A B C$ 中， $B C = 2 A B$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ A B C$ 的角平分线交AC于点D， $B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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11、如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了100（单位： $m^{2}$ ），则原圆柱的侧面积是（）（单位： $m^{2}$ ）

A、 $100 π$ B、 $200 π$ C、100 D、200

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3π}{4}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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13、某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论错误的是（）

A、这14天日促销量的众数是214 B、这14天日促销量的中位数是196.5 C、这14天日促销量的极差为195 D、这14天日促销量的第80百分位数是243

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14、下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0), \vec{e_{2}} = (1, - 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (1, 2), \vec{e_{2}} = (- 1, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (- 3, 5), \vec{e_{2}} = (- 6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2), \vec{e_{2}} = (5, 7)$

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15、已知复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $1$

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16、对于三个实数 $a, b, k$ ，若 $(a^{2} - 1) (b^{2} - 1) \geq k |(a - b) (1 - a b)|$ 成立，则称 $a, b$ 具有“性质 $k$ ”

(1)、写出一个数 $a$ 使之与2具有“性质1”，并说明理由；

(2)、若 $2^{x} - 2^{- x}, \sqrt{2}$ 具有“性质0”，求 $x$ 的取值范围；

(3)、若 $\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{2}$ ，且 $sin x$ ， $cos x$ 具有“性质 $k$ ”，求实数 $k$ 的最大值．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $E, F$ 分别为 $P B, P C$ 的中点， $G$ 为线段 $A C$ 上一动点， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明：平面 $B D F ⊥$ 平面 $A E G$ ；

(2)、当 $C G = 3 A G$ 时，证明： $E G / /$ 平面 $B D F$ ；

(3)、若 $A D = 2 P D$ ，四面体 $B G E F$ 的体积等于四棱锥 $P - A B C D$ 体积的 $\frac{3}{32}$ ，求 $\frac{G C}{A C}$ 的值．

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 b cos C = 2 a + c$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ，且 $sin A sin C = \frac{1}{4}$ ，求 $a + c$ ．

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19、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、若将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ 倍，再将其图象沿x轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，求不等式 $g (x) > 1$ 的解集．

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1), |\vec{b}| = \sqrt{2}$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 3$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角．

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求k的值．

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