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相关试卷

1、已知三棱锥 $S - A B C$ 的底面是边长为3的等边三角形，且 $S A = A B = S B$ ，当该三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的周期为2的奇函数，当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (\frac{7}{2})$ 的值为．

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3、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，已知平面 $α ⊥ A C_{1}$ ，则关于平面α截正方体所得截面的判断正确的是（）

A、截面形状可能为正三角形 B、平面α与平面ABCD所成二面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、截面形状可能为正六边形 D、截面面积的最大值为 $3 \sqrt{3}$

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4、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ ，满足 $f (\frac{π}{3} + x) = f (\frac{π}{3} - x)$ ，且 $f (\frac{π}{2}) > f (π)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、 $sinφ = - \frac{1}{2}$ C、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2},π)$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{13}{12} π, 0)$ 对称

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5、下列说法正确的是（）

A、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ B、若向量 $\vec{P A} = λ \vec{P B} + μ \vec{P C}$ ，且 $λ + μ = 1 (0 < λ < 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是锐角 D、已知| $|\vec{a}| = 6$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，且 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{3}{4} π$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- 3 \sqrt{2} \vec{b}$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x + 1|, x \leq 0 \\ |{log}_{4} x|, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有4个不同的根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} x_{4} - x_{1} - x_{2}$ 的值为（）

A、3 B、0 C、2 D、6

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7、若圆台侧面展开图扇环的圆心角为 $180 °,$ 其母线长为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，则该圆台的高为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$

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8、平面 $α$ 与平面 $β$ 平行的充分条件可以是（）

A、 $α$ 内有无穷多条直线都与 $β$ 平行 B、直线 $m ⊄ α, m ⊄ β$ ，且 $m // α, m // β$ C、直线 $m \subset α$ ，直线 $n \subset β$ ，且 $m // β, n // α$ D、 $α$ 内的任何一条直线都与 $β$ 平行

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9、已知 $tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、设 $a = 8^{0.4}, b = {(\frac{1}{2})}^{- 1.3}, c = \lg \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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11、设复数z满足 $(1 - i) z = 3 - i^{3}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 - 2i$ D、 $1 + 2 i$

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12、若集合 $A = \{x \in Z| - 2 < x < 5\}, B = \{x| x^{2} < 4 x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 4)$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${- 1}$ D、 $(- 2, 4)$

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13、如图1，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2$ ， E为 $A B$ 的中点，将 $A B$ 沿 $D E$ 向上翻折，得到四棱锥 $A_{1} - B C D E$ （图2）.

(1)、若 $A_{1} C = 2$ ，求异面直线 $A_{1} E$ 与 $B C$ 的夹角 $B C$ ；

(2)、求证： $D E ⊥ A_{1} C$ ；

(3)、在翻折过程中，当二面角 $A_{1} - C D - B$ 为 $\frac{π}{4}$ 时，求四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积.

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14、 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在 $A C$ 边上，且直线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ .

(1)、求证： $\frac{C D}{A D} = \frac{a}{c}$ ；

(2)、若 $A D = 1$ ， $C D = 2$ .
①求 $△ A B C$ 面积S的最大值；
②若 $△ B A D$ 和 $△ B C D$ 的内切圆半径分别是r和R，求 $\frac{r}{R}$ 的取值范围.

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15、为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)、估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数；

(2)、若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率；

(3)、已知 $[80, 90)$ 组的方差为12， $[90, 100]$ 组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）；

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16、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} (\cos^{2} x - \sin^{2} x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - 4 \sin^{2} (x - \frac{π}{4})$ ，若 $g (x)$ 的最大值为 $g (x_{0})$ ，其中 $x_{0} \in [0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin x_{0}$ 的值.

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17、函数 $f (x) = \frac{b}{| x | - a} (a > 0, b > 0)$ 的图象类似于汉字“囧”字，被称为“囧函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心，凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当 $a = 1, b = 1$ 时，函数 $f (x)$ 的“囧点”坐标为；此时函数 $f (x)$ 的所有“囧圆”中，面积的最小值为．

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a^{2} = 3 b^{2} + c^{2}$ ，则 $\frac{\tan A}{\tan C} =$ ．

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19、从1，2，3，4，5中任取3个不同数字，这3个数字之和是偶数的概率为.

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20、如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ B C_{1}$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $B C_{1}$ ， $A C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $D E //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ B、 $A D ⊥$ 平面 $B C C_{1}$ C、直线 $A D$ 与直线 $D E$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、若 $∠ B A C = \frac{π}{6}$ ，则平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$

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