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相关试卷

1、如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ ， $x \in [- 4, 0]$ 的图象，图象的最高点坐标为 $C (- 1, 2)$ .第二部分是长为1千米的直线段DE， $D E // x$ 轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧 $\overset{⌢}{E F}$ .

(1)、若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象楼，求该学生走过的路BO的长；

(2)、若点P在弧 $\overset{⌢}{E F}$ 上，点M和点N分别在线段 $O F$ 和线段 $O E$ 上，若平行四边形 $O M P N$ 区域为学生的休息区域，记 $∠ P O F = θ$ ，请写出学生的休息区域 $O M P N$ 的面积S关于 $θ$ 的函数关系式，并求当 $θ$ 为何值时， $S$ 取得最大值.

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2、如图所示正四棱锥 $S - A B C D$ ， $S A = S B = S C = S D = 2$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $P$ 为侧棱 $S D$ 上的点，且 $S P = 3 P D$ ，求：

(1)、正四棱锥 $S - A B C D$ 的表面积；

(2)、若 $M$ 为 $S A$ 的中点，求证： $S C / /$ 平面 $B M D$ ；

(3)、侧棱 $S C$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $B E / /$ 平面 $P A C$ .若存在，求 $\frac{S E}{E C}$ 的值；若不存在，试说明理由.

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3、已知函数 $f (x) = \sqrt{x}$ ， $g (x) = |x - 2|$ .

(1)、求方程 $f (x) = g (x)$ 的解集；

(2)、定义： $\max \{a, b\} = \{\begin{cases} a, a \geq b \\ b, a < b \end{cases}$ .已知定义在 $[0, + \infty)$ 上的函数 $h (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ ，求函数 $h (x)$ 的解析式；

(3)、在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数 $h (x)$ 的简图，并根据图象写出函数 $h (x)$ 的单调区间和最小值.

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4、（1）已知 $|\overset{⇀}{a}| = 4$ ， $|\overset{⇀}{b}| = 5$ ，且 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为60°，求 $|2 \overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b}|$ 的值；
（2）在矩形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2} ， B C = 2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在 $C D$ 边上，若 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A F} = \sqrt{2}$ ，求 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{B F}$ 的值.

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5、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $3 b \cos C + 3 c \cos B = 5 a \sin A$ ，且A为锐角，则当 $\frac{a^{2}}{b c}$ 取得最小值时， $\frac{a}{2 b + c}$ 的值为．

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6、如图， $△ A B C$ 的直观图 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 如图所示，其中 $A^{'} B^{'} / / x^{'}$ 轴， $A ^{'} C^{'} / / y^{'}$ 轴，且 $A^{'} B^{'} = A ^{'} C^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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7、命题“ $\forall x \in R$ ，都有 $x^{2} ＋ x + 1 > 0$ ”的否定是.

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8、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 的对角线交点 $O$ ，点 $E$ 是侧棱 $B B_{1}$ 上的一个动点，下列结论正确的是（）

A、直三棱柱的侧面积是 $4 + 2 \sqrt{3}$ B、直三棱柱的外接球表面积是 $8 π$ C、三棱锥 $E - A A_{1} O$ 的体积与点 $E$ 的位置有关 D、 $A E + E C_{1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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9、下列叙述正确的是（）

A、在等边三角形 $A B C$ 中， $\vec{A B}$ 与 $\vec{B C}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ B、若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b} |=| \vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $\vec{a} / / \vec{c}$ ， $\vec{c} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则 $O$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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10、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i^{7}) z = 3 - i$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则下列说法中正确的是（）

A、 $z$ 的实部与虚部之积为 $2$ B、 $z$ 的共轭复数为 $2 - i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限 D、 $| z - 2 \bar{z} | = \sqrt{13}$

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11、已知函数 $y = \sin ω x$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 内是减函数，则（）

A、 $0 < ω \leq 1$ B、 $- 1 \leq ω < 0$ C、 $ω \geq 1$ D、 $ω \leq - 1$

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12、“五月的风”是坐落在山东省青岛市五四广场的标志性雕塑，重达500余吨，是我国目前最大的钢质城市雕塑，该雕塑充分展示了岛城的历史足迹.如图，现测量该雕塑的高度时，选取了与该雕塑底 $B$ 在同一平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，测得 $∠ B C D = 60 °$ ， $∠ C D B = 80 °$ ， $C D = 23.4 m$ ，在 $C$ 点测得该雕塑顶端 $A$ 的仰角为40°，则该雕塑的高度约为（参考数据：取 $sin 40 ° = 0.64$ ）（）

A、 $26 m$ B、 $28 m$ C、 $30 m$ D、 $32 m$

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13、在四边形 $A B C D$ 中 $\vec{A B} / / \vec{C D}$ ，若 $\vec{A B} = (k, - 4)$ ， $\vec{C D} = (- 3, k)$ ，则 $k =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $\pm 2 \sqrt{3}$ D、0

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14、若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm² ，则此球的体积为（）

A、 $\frac{π}{6}$ cm³ B、 $\frac{\sqrt{6} π}{8}$ cm³ C、 $\frac{4 π}{3}$ cm³ D、 $\frac{\sqrt{6} π}{6}$ cm³

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15、下列命题中的真命题是（）

A、若点 $A \in α$ ，点 $B \notin α$ ，则直线 $A B$ 与 $α$ 相交 B、若 $a \subset α$ ， $b ⊄ α$ ，则a与b必异面 C、若点 $A \notin α$ ，点 $B \notin α$ ，则直线 $A B // α$ D、若 $a / / α$ ， $b \subset α$ ，则 $a / / b$

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16、设全集 $U = \{x \in N| \sqrt{x} \leq 2\}$ ， $A = \{1, 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{0, 3\}$ B、 $\{0, 4\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{0, 3, 4\}$

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17、函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
设 $f (x)$ 在区间 $D$ 上连续，如果对 $D$ 上任意两点 $x_{1}, x_{2}$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的图形是凹的【图1】，区间 $D$ 为 $f (x)$ 凹的区间；
设 $f (x)$ 在区间 $D$ 上连续，如果对 $D$ 上任意两点 $x_{1}, x_{2}$ 恒有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，
则称 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的图形是凸的【图2】．区间 $D$ 为 $f (x)$ 凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设 $f (x)$ 在区间 $D$ 上连续，在区间 $D$ 上具有一阶和二阶导数，那么
①如果 $f (x)$ 在 $D$ 上恒有 $f^{″} (x) > 0$ ，则 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的图象是凹的；如果 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的图象是凹的，则 $f (x)$ 在 $D$ 上恒有 $f^{″} (x) \geq 0$ ；
②如果 $f (x)$ 在 $D$ 上恒有 $f^{″} (x) < 0$ ，则 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的图象是凸的；如果 $f (x)$ 在区间 $D$ 上的图象是凸的，则 $f (x)$ 在 $D$ 上恒有 $f^{″} (x) \leq 0$
其中 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，为 $f (x)$ 的一阶导数： $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数，为 $f (x)$ 的二阶导数．
根据以上内容，完成如下问题：

(1)、求函数 $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ 的凹的区间和凸的区间；

(2)、若 $g (x) = (x - 2) e^{x - 2} + a (x^{2} - 4)$ 在区间 $［ 0, + \infty ）$ 上图象是凹的，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $ln x < (x^{2} - 2 x) e^{x - 2} + \frac{2 x}{e}$ ．

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18、为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表：

数学成绩优秀
数学成绩不优秀
合计
经常整理错题
40
20
60
不经常整理错题
20
20
40
合计
60
40
100

(1)、依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？

(2)、用频率估计概率，在该市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．
①用 $X$ 表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望及方差；
②求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．其中 $n = a + b + c + d$ ．
$χ^{2}$ 独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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19、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $2 S_{n} = 3 a_{n} - 2 n (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = (a_{n} + 1) {log}_{3} (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最值．

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	数学成绩优秀	数学成绩不优秀	合计
经常整理错题	40	20	60
不经常整理错题	20	20	40
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828