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相关试卷

1、已知 $A 、 B 、 C 、 D$ 四点在抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上，直线 $A C$ 经过点 $P (1, 0)$ ，直线 $A B$ 经过点 $Q (2, 0)$ ，直线 $A D$ 与直线 $B C$ 相交，交点 $E$ 在 $x$ 轴上.

(1)、求证：点 $C$ 是线段 $B E$ 的中点；

(2)、记 $△ P B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ D P Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}^{2}}{S_{2}}$ 的最小值.

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $△ A B P$ 是正三角形， $G$ 是 $△ B C D$ 的重心，点 $F$ 满足 $\vec{A P} = 3 \vec{F P}$ .

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $B C P$ ；

(2)、若 $C P = \frac{3}{2} A B$ ，求直线 $B G$ 与平面 $B C P$ 所成角的正弦值.

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3、已知甲盒中有1个红球，2个蓝球，乙盒中有5个红球，4个蓝球，这些球除了颜色外完全相同.

(1)、从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，求这3次中取出2次红球的概率；

(2)、从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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4、已知函数 $f (x) = 3 ln x - x^{2} + a x$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线的方向向量为 $(1, 2)$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值.

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5、某希望小学的操场空地的形状是一个扇形 $A O B$ ，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量， $∠ A O B = 60 °$ ， $O A = 2$ .在方案1中，若设 $O E = x$ ， $E F = y$ ，则 $x$ ， $y$ 满足的关系式为，比较两种方案，沙坑面积最大值为.

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6、若圆 $C : x^{2} + y^{2} - 5 y + 4 = 0$ 被双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线 $E$ 的离心率为.

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7、已知 $f (x) = cos ω x + \sqrt{3} sin ω x (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上是单调函数，且 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- π, 0)$ 对称，则（）

A、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 4$ ，则 ${|x_{1} - x_{2}|}_{min} = 6 π$ B、 $f (x)$ 的图象的一条对称轴方程为 $x = 2 π$ C、函数 $y = f (x)$ 在 $(- π, 5 π)$ 上无零点 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $π$ 个单位长度后得到的函数为偶函数

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8、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左，右焦点， $P$ 是椭圆 $C$ 上一点， $∠ P F_{2} F_{1}$ 的角平分线与 $P F_{1}$ 的交点 $Q$ 恰好在 $y$ 轴上，则线段 $P F_{2}$ 的长度为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{37}}{4}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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9、若函数 $f (x) = x + \frac{1}{|x|}$ ，则方程 $f [f (x)] = 3$ 的实数根个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10、在义乌，婺剧深受民众喜爱.某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是（）

A、36 B、48 C、60 D、72

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11、某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布 $N (95, 12^{2})$ .如果按照 $16 %$ ， $34 %$ ， $34 %$ ， $16 %$ 的比例将考试成绩从高到低分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为（）
（参考数据： $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.68$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.95$ ）

A、 $A$ B、 $B$ C、 $C$ D、 $D$

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 2$ ， $A = 60 °$ ，则 $c$ 为（）

A、1 B、2 C、3 D、1或3

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13、已知 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，若 $b_{2} = 3$ ， $b_{6} = 27$ ，则 $b_{4}$ 的值为（）

A、9 B、 $- 9$ C、 $\pm 9$ D、81

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14、样本数据12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位数是（）

A、33 B、35 C、46 D、51

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15、已知函数 $f (x) = x |x - 2 a| + a^{2} - 4 a (x \in R)$ 有3个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若存在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使不等式 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} - \frac{λ}{x_{3}} < 0$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (2^{x} + 1) - a x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 为定义域上的偶函数，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，对 $\forall x \in (- \infty, 1)$ ，不等式 $f (x) > {log}_{2} (m \cdot 2^{x} - 3 m)$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、已知一个半径为 $3.2$ 米的水轮如图所示，水轮圆心 $O$ 距离水面 $1.6$ 米，且按顺时针方向匀速转动，每 $45$ 秒转动一圈.如果以水轮上点 $P$ 从水面浮现时（图中点 $P_{0}$ 位置）开始计时，记点 $P$ 距离水面的高度 $h (m)$ 关于时间 $t (s)$ 的函数解析式为 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .

(1)、在水轮转动的一周内，求点 $P$ 距离水面高度 $h (m)$ 关于时间 $t (s)$ 的函数解析式；

(2)、在水轮转动的一周内，求点 $P$ 在水面下方的时间段.

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18、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} sin x, \sqrt{2} sin x + cos x), \vec{b} = (cos x, cos x - \sqrt{2} sin x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及其单调递减区间；

(2)、若函数 $y = f (x) - k$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 上有且仅有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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19、已知集合 $A = \{x ||x - \frac{1}{2}| \leq \frac{3}{2}\}$ ， $B = \{x |3 - 2 m \leq x \leq 2 m + 1\}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、从① $∁_{R} A \subseteq ∁_{R} B$ ；② $B \cap (∁_{R} A) = \emptyset$ ；③ $A \cup B = A$ 中任选一个作为已知条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、求解下列各题：

(1)、计算： ${(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} \times 8^{0.25} + 2^{{log}_{4} 9} + {log}_{2} 9 \times {log}_{3} 4$ ；

(2)、已知 ${sin}^{4} θ + {cos}^{4} θ = \frac{5}{9}$ ，求 $cos 4 θ$ 的值.

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