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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x} + 4$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、对任意 $x \in [1, e]$ ，不等式 $f (x) \geq \frac{1}{x} + {(x + 1)}^{2}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a x + b}{e^{x}} (x \in R)$ 的一个极值点是 $x = 2$ ．
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求b的值，并求 $f (x)$ 的单调增区间；
（Ⅱ）设 $a > 0$ ，若 $x \in [0, 3]$ ，使得 $f (x) < \frac{9}{e^{2}}$ 成立，求实数a的范围．

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3、“从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数(所得结果用数值表示)．

(1)、 $A, B$ 必须被选出；

(2)、至少有3名女生被选出．

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4、甲、乙、丙3人从1楼上了同一部电梯，已知 $3$ 人都在 $2$ 至 $6$ 层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则甲、乙、丙 $3$ 人出电梯的不同方法总数是．

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5、若函数 $f (x) = x {(x + a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则实数 $a$ 的值为.

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6、若 $x$ 满足关系式 $C_{15}^{3 x - 2} = C_{15}^{x + 1}$ ，则 $x =$ ．

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7、已知 $e$ 是自然对数的底数，函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $\frac{f (x)}{x} + \ln x \cdot f^{'} (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{e}) + f (e) > 0$ B、 $f (\frac{1}{e}) < 0$ C、 $f (e) > 0$ D、 $f (1) = 0$

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8、下列各式中与排列数 $A_{n}^{m}$ 相等的是（　　）

A、 $\frac{n!}{(n - m)!}$ B、 $n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m)$ C、 $\frac{n A_{n - 1}^{m}}{n - m + 1}$ D、 $A_{n}^{1} A_{n - 1}^{m - 1}$

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9、已知函数 $f (x) = x \ln x$ ， $g (x) = x e^{x}$ ，若存在 $t > 0$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2}) = t$ 成立，则 $x_{1} - 2 x_{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 - ln 4$ B、 $2 + ln 4$ C、 $e - ln 2$ D、 $e + ln 2$

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10、过直线 $y = x - 1$ 上一点 $P$ 可以作曲线 $f (x) = x - ln x$ 的两条切线，则点 $P$ 横坐标 $t$ 的取值范围为（）

A、 $0 < t < 1$ B、 $1 < t < e$ C、 $0 < t < e$ D、 $\frac{1}{e} < t < 1$

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11、如图是函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象，则下面判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- 3, 1)$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上是减函数 C、 $f (x)$ 在 $[- 3, 4]$ 上的最大值是 $f (1)$ D、当 $x = 4$ 时， $f (x)$ 取得极小值

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12、函数 $f (x) = x - 2 ln (2 x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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13、阅读课上，5名同学分别从3种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是（）

A、50 B、60 C、125 D、243

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14、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x^{- 2})}^{'} = x^{- 3}$ B、 ${(x \sin x)}^{'} = \sin x + x \cos x$ C、 ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$ D、 ${(\cos \frac{π}{3})}^{'} = - \sin \frac{π}{3}$

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15、一个物体的位移 $s$ (米)与时间 $t$ (秒)的关系式为 $s = 2 + 10 t - t^{2}$ ，则该物体在3秒末位移的瞬时变化率是（）

A、6米/秒 B、5米/秒 C、4米/秒 D、3米/秒

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是平行四边形， $P D = P C = B D = \frac{1}{2} A D = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ .点E，F分别在DC和DP上，且 $D E = \frac{1}{3} D C$ ， $D F = \frac{1}{3} D P, B F = \sqrt{10} E F$ ，点M是BP的中点，点N在BC上， $D N ⊥ B E$ .

(1)、证明：平面 $P D C ⊥$ 平面ABCD；

(2)、证明： $M N / /$ 平面BEF；

(3)、求平面FMN与平面ABCD所成角的正弦值.

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17、（1）证明：当 $\frac{π}{2} < x < π$ 时， $\frac{\cos x}{\sin x} < \frac{π}{2} - x < \cos x$ ；
（2）已知函数 $f (x) = 2 a x - \tan x$ 在 $x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有两个极值点，求实数a的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{π}{3} - 2 ω x) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴方程为．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $A = \frac{2 π}{3}$ ，若点D满足 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = 0$ ，且 $\vec{A D} = \frac{4}{5} \vec{A C} + \frac{1}{5} \vec{A B}$ ，则 $\frac{b}{c} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{4}$ D、4

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20、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{e^{x} + a}$ 是奇函数，若 $f (2023) > f (2024)$ ，则实数a的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、0

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