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相关试卷

1、已知函数 $f (x), g (x), h (x)$ 的定义域均为 $R$ ，给出下面两个定义：
①若存在唯一的 $x \in R$ ，使得 $f (g (x)) = h (f (x))$ ，则称 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ 唯一交换；
②若对任意的 $x \in R$ ，均有 $f (g (x)) = h (f (x))$ ，则称 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ 任意交换．

(1)、请判断函数 $g (x) = x + 1$ 与 $h (x) = x - 1$ 关于 $f (x) = x^{2}$ 是唯一交换还是任意交换，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = a (x^{2} + 2) (a \neq 0), g (x) = x^{2} + b x - 1$ ，若存在函数 $h (x)$ ，使得 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ 任意交换，求b的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $g (x)$ 与 $f (x)$ 关于 $w (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 唯一交换，求a的值．

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2、下列命题正确的是.（填序号）
①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；
②垂直于同一条直线的两直线平行；
③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面；
④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在；
⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直；
⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.

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3、已知 $f (x) = a x - 1, g (x) = x^{2} + b x - 5 (a > 0, b \in R)$
（1）若 $a = 2$ 时， $f (x) = g (x)$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为.
（2）若 $x > 0$ 时， $f (x) \cdot g (x) \geq 0$ 恒成立，则 $b + \frac{3}{a}$ 的最小值为.

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4、如图，在四面体 $A - B C D$ 中， $A C = 2, B D = \sqrt{2}, A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ， $M, N$ 分别为 $A B, C D$ 的中点，则线段 $M N$ 的长为.

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5、 $A (1, 0, 2), B (1, - 3, 1)$ ，点 $M$ 在 $z$ 轴上且到 $A, B$ 两点的距离相等，则 $M$ 点的坐标为.

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6、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}, A B = A A_{1} = 2, P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in[0, 1])$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ + μ = \frac{1}{3}$ ，则四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $△ A_{1} B Q$ 的外心为 $O$ ，则 $\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} O}$ 为定值2 C、若 $A_{1} Q = \sqrt{5}$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{4}$ D、若 $λ = 1$ 且 $μ = \frac{1}{2}$ ，则存在点 $E \in A_{1} B$ ，使得 $A E + E Q$ 的最小值为 $\sqrt{9 + 2 \sqrt{10}}$

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7、如图，以等腰直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕，翻折 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ ，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ .下列结论正确的是（）

A、 $B D ⊥ A C$ B、 $△ A B C$ 是等边三角形 C、三棱锥 $D - A B C$ 是正三棱锥 D、平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C$

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8、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $A^{'} B^{'} = 2, A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = \sqrt{5}$ ，则在原平面图形 $A B C$ 中有（）

A、 $A C < B C$ B、 $A B = 2$ C、 $A C = 2 \sqrt{3}$ D、 $S_{△ A B C} = 4 \sqrt{2}$

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 边长为1，点 $E, O$ 分别在线段 $B_{1} D_{1}$ 和 $B D$ 上， $E B_{1} = \frac{4}{5} B_{1} D_{1}, D O = B O$ ，动点 $F$ 在线段 $A A_{1}$ 上，且满足 $A F = λ A A_{1} (0 < λ < \frac{1}{2})$ ，分别记二面角 $F - O B_{1} - E, F - O E - B_{1}$ ， $F - E B_{1} - O$ 的平面角为 $α, β, γ$ ，则总有（）

A、 $α > β > γ$ B、 $γ > β > α$ C、 $γ > α > β$ D、 $β > α > γ$

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10、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 $\frac{π}{3}$ ，所以正四面体在各顶点的曲率为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ ，故其总曲率为 $4 π$ ，则四棱锥的总曲率为（）

A、 $2 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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11、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是线段 $B B_{1}$ 上靠近 $B_{1}$ 的三等分点，点 $F$ 是线段 $D_{1} C_{1}$ 上靠近 $D_{1}$ 的三等分点，则平面AEF截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 形成的截面图形为（）

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

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12、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ，若二面角 $C - A B - C_{1}$ 的大小为 $60^{°}$ ，则点C到平面 $C_{1} A B$ 的距离为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、如图，一个正四棱锥 $P - A B C D$ 的五个顶点都在球面上，且底面 $A B C D$ 经过球心 $O$ .若 $V_{P - A B C D} = \frac{128}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积是

A、 $\frac{81 π}{4}$ B、 $36 π$ C、 $64 π$ D、 $\frac{27 π}{4}$

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14、如图，已知平面 $α$ ， $β$ ，且 $α \cap β = l$ .设梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，且AB $\subset$ $α$ ， CD $\subset$ $β$ .则下列结论一定正确的是( )

A、 $A B = C D$ B、直线 $A B$ 与直线 $C D$ 可能为异面直线 C、直线 $A C$ 与直线 $B D$ 可能为异面直线 D、直线 $A B$ 、 $C D$ 、 $l$ 相交于一点

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15、如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱） $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为 $B C$ 延长线上一点， $\overset{⃑}{B C} = 3 \overset{⃑}{C E}$ ，则 $\overset{⃑}{D_{1} E}$ =（）

A、 $\overset{⃑}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A D} - \overset{⃑}{A A_{1}}$ B、 $\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A D} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{A A_{1}}$ C、 $\overset{⃑}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A D} + \overset{⃑}{A A_{1}}$ D、 $\overset{⃑}{A B} - \overset{⃑}{A D} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A A_{1}}$

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16、 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知： $a \cdot \sin A + a \cdot \sin C \cos B + b \cdot \sin C \cos A = b \cdot \sin B + c \cdot \sin A$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围；

(3)、若 $b^{2} = \frac{3}{2} a c (a > c)$ ，且外接圆半径为2，圆心为 $O$ ， $P$ 为圆上一个动点，试求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的取值范围.

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17、 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知： $\cos^{2} (\frac{π}{2} + A) + \cos A = \frac{5}{4}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $A B = 3, A C$ 边上的中线BD长为 $\sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 面积；

(3)、 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 内切圆半径的取值范围.

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18、如图所示，点 $G$ 是 $△ A B C$ 重心. $\vec{A M} = x \vec{A B}, \vec{A N} = y \vec{A C} (x, y \in R)$ .

(1)、用 $\vec{A M}, \vec{A N}$ 表示 $\vec{A G}$ (系数中的字母只含x，y)；

(2)、求 $2 x + y$ 最小值.

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19、锐角 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ .已知 $2 b \sin A - a = 0$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $\sin A + \cos C$ 的取值范围.

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20、（1）计算 $i^{2021} + {(\sqrt{2} - \sqrt{2} i)}^{8} + {(\frac{\sqrt{3} - i}{- 1 - \sqrt{3} i})}^{2} + {(\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{- 1 + \sqrt{3} i})}^{6}$ ；
（2）已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + x i + m \cdot (2 - 3 i) = 0$ 有实数解，求纯虚数 $m$ .

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