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相关试卷

1、三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B$ ， $C P = 4$ ， $B A = B C = 2$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $6$ D、 $12$

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2、已知球O为棱长为1的正四面体 $A B C D$ 的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则 $|P Q|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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3、如图，正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的所有边长都相等， $P$ 为线段 $B B^{'}$ 的中点， $Q$ 为侧面 $B B^{'} C^{'} C$ 内的一点（包括边界，异于点 $P$ ），过点 $A$ 、 $P$ 、 $Q$ 作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（）

A、五边形 B、四边形 C、等腰三角形 D、直角三角形

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4、甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（       ）
甲：4       5       4       5       5             乙：4       2       3       4       3
丙：2       3       2       3       4             丁：6       1       2       6       1

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5、复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面内所对应的点在第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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6、如图所示， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $I$ 为 $△ A B C$ 的内心，点 $P$ 在以 $I$ 为圆心， $1$ 为半径的圆上运动.

(1)、求出 ${(\vec{P A})}^{2} + {(\vec{P B})}^{2} + {(\vec{P C})}^{2}$ 的值.

(2)、求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的范围.

(3)、若 $x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C} = \vec{0} (x, y, z \in R)$ ，当 $\frac{x}{y}$ 最大时，求 $\frac{z}{x + y}$ 的值.

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7、2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95 $℃$ 的水冲泡，等茶水温度降至60 $℃$ 饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位： $℃$ ）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间／分钟
0
1
2
3
4
5
水温／ $℃$
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33

(1)、给出下列三种函数模型：① $y = a t + b (a < 0)$ ， ② $y = a \cdot b^{t} + c (a > 0, 0 < b < 1)$ ， ③ $y = \log_{a} (t + b) + c (b > 0, a > 1)$ ，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.

(2)、根据（1）中所求模型，
（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.477, \lg 5 \approx 0.699$ ）

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8、在① $2 sin (A + \frac{π}{6}) = \frac{a + c}{b}$ ， ② $(a + c - b) (a + c + b) = 3 a c$ ， ③ $\frac{sin A - sin B}{a - c} = \frac{sin C}{a + b}$ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且______．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $B C = 3 A B$ ，求 $\sin A$ ．

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9、求值：

(1)、 $8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + \log_{5} 10 - \frac{1}{\log_{2} 5} - 2^{\log_{2} 3}$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} (b + \frac{1}{b})$ 的最小值.

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10、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{5} (1 - x)| (x < 1) \\ - {(x - 2)}^{2} + 2 (x \geq 1) \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x + \frac{1}{x} - 2) - t = 0$ 恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是.

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11、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则它的外接球的表面积为；若E为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面面积为.

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12、在△ABC中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，则 $B C =$ ；若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A C} - \vec{A B}$ （ $λ \in R$ ），且 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = - 4$ ，则 $λ$ 的值为.

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13、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有 $3$ 个对称中心，则下列正确的是（）

A、 $ω$ 的值可能是 $3$ B、 $f (x)$ 的最小正周期可能是 $\frac{2π}{3}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{16}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 图象的对称轴可能是 $x = \frac{3π}{8}$

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14、下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（）

A、 $M = \{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}\}$ ， $N = {- 6, - 3, 1}$ ， $f (\frac{1}{2}) = - 6$ ， $f (1) = - 3$ ， $f (\frac{3}{2}) = 1$ B、 $M = N = {x | x \geq - 1}$ ， $f (x) = 2 x + 1$ C、 $M = N = {1, 2, 3}$ ， $f (x) = 2 x + 1$ D、 $M = Z$ ， $N = {- 1, 1}$ ， $f (x) = \{\begin{array}{l} - 1, x 为奇数, \\ 1, x 为偶数 . \end{array}$

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15、正方形ABCD的边长为6点E，F分别在边AD，BC上，且 $D E = E A$ ， $C F = 2 F B$ .如果对于常数 $λ$ ，在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，使得 $\vec{P E} \cdot \vec{P F} = λ$ 成立，那么 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, - \frac{1}{4})$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(3, 12)$ D、 $(- \frac{1}{4}, 3)$

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16、函数 $f (x) = x + \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) \cdot \cos x$ 在 $[- 2 π, 2 π]$ 上的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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17、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = \sqrt{10}$ ，则在原平面图形 $△ A B C$ 中有（）

A、 $A C = B C$ B、 $A B = 2$ C、 $B C = \sqrt{82}$ D、 $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{2}$

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18、一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为9100 $m^{3}$ ，若它的两底面边长分别为60m和50m，则此时鱼塘的水深（）

A、2m B、3m C、3.5m D、4m

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19、若复数 $\frac{a + b i}{1 + 2 i} (a, b \in R)$ 为纯虚数，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、－2 C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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20、已知集合 $A = \{x| x < 5\}$ ， $B = \{x| 3 - x < 1\}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 5)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(2, 5)$ D、 $(- \infty, 2)$

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时间／分钟	0	1	2	3	4	5
水温／ $℃$	95.00	88.00	81.70	76.03	70.93	66.33