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相关试卷

1、《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图， $E A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $F C ∥ E A$ ，四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = A E = 2$ ， $C D = C F = 4$ ．

(1)、证明：四面体 $B C F D$ 为鳖臑；

(2)、求点C到平面 $B D F$ 的距离．

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a + b + c = 16$ ．

(1)、若 $a = 4$ ， $b = 5$ ，求 $\cos C$ 的值；

(2)、若 $\sin A \cos^{2} \frac{B}{2} + \sin B \cos^{2} \frac{A}{2} = 2 \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = 18 \sin C$ ，求a和b的值．

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3、某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位： $kg$ ），并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求（在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？

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4、已知圆 $O$ 的半径为2，弦长 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $C$ 为圆 $O$ 上一动点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B C}$ 的最大值为.

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5、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形， $P A = P D = A B = 1 ，$ $P B = P C = B C = \sqrt{2}$ ，则其外接球的表面积为．

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6、在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，N为底面ABCD的中心，P为棱A₁D₁上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论正确的是（　　）

A、CM与PN是异面直线 B、 $| \overset{⃑}{C M} | > | \overset{⃑}{P N} |$ C、过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形 D、平面PAN⊥平面BDD₁B₁

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7、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $f (x)$ 是奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数.则下列选项中说法正确的有（）

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (x)$ 周期为2 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 D、 $f (x - 2)$ 是奇函数

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8、某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是（）

A、样本中支出在[50，60)内的频率为0.03 B、样本中支出不少于40元的人数为132 C、n的值为200 D、若该校有2000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内

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9、在 $Δ A B C$ 中，若 $\frac{b \cos C}{c \cos B} = \frac{1 + \cos 2 C}{1 + \cos 2 B}$ ，则 $Δ A B C$ 的形状是

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 4 x + a}{x}$ ，若对于任意 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[5, + \infty)$ B、 $(- 5, + \infty)$ C、 $(- 5, 5)$ D、 $[- 5, 5]$

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11、若函数 $f (x)$ 的值域为 $(1, 10)$ ，则函数 $g (x) = f (x) - 4 \sqrt{f (x) - 1}$ 的值域为（）

A、 $[- 3, - 2)$ B、 $(- 3, - 2)$ C、 $[- 3, 1)$ D、 $(- 3, 1)$

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12、牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间 $y (h)$ 与储藏温度 $x ({}_{\circ}C)$ 的关系为 $y = k e^{r x}$ （ $k$ 、 $r$ 为常量）.若牛奶在0 ${}_{\circ}C$ 的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5 ${}_{\circ}C$ 的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10 ${}_{\circ}C$ 中的保鲜时间约是（）

A、49h B、56h C、64h D、76h

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13、设复数z满足 $(1 + i) \cdot z = 4 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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14、下列四组函数中 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x, g (x) = \frac{x^{2}}{x}$ B、 $f (x) = 2 l g x, g (x) = l g x^{2}$ C、 $f (x) = |x|, g (x) = \{\begin{matrix} x (x \geq 0) \\ - x (x < 0) \end{matrix}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}, g (x) = x^{\frac{1}{2}}$

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形， $A B = B C = 2, ∠ A B C = 90 °$ ， $E, F$ 分别是棱 $A C, A B$ 的中点，且 $\vec{B_{1} D} = λ \vec{B_{1} A_{1}} (0 \leq λ \leq 1)$ ．

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，证明： $D E / /$ 平面 $C B B_{1} C_{1}$ ；

(2)、当平面 $D E F$ 与平面 $A_{1} B C$ 夹角的余弦值最大时，求 $λ$ 的值．

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16、已知函数 $f (x) = (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) (\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) + \sin x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点向上平移 $1$ 个单位得到曲线 $C_{1}$ ，再将 $C_{1}$ 上的各点纵坐标变为原来的 $2$ 倍（横坐标不变），得到函数 $g (x)$ 的图象．若 $\exists x \in [0, \frac{π}{2}]$ ， $\forall m \in [- 1,0]$ ，不等式 $m t^{2} - 2 m t + 7 \geq g (x)$ 成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (2 x + 3, - x)$ ．

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ．

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18、香霏楼是荣昌昌州故里景区的标志性建筑之一，也是荣昌历史文化的重要象征.某同学为测量香霏楼的高度 $C D$ ，在香霏楼的正西方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为15m，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，香霏楼顶部D的仰角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，在B处测得塔顶部D的仰角为 $15 °$ ，则香霏楼的顶部与地面的距离约为 m..

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19、计算 ${(\frac{3 + i}{2 - i})}^{2} =$ ．

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20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $b \sin A = a \cos (B - \frac{π}{6})$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{6}$ B、若b＝4，则△ABC的周长的最大值为 $12$ C、若D为AC的中点，且BD＝2，则△ABC的面积的最大值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、若角B的平分线BD与边AC相交于点D，且 $B D = \sqrt{3}$ ，则a+4c的最小值为9

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