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相关试卷

1、已知 $a > 0, b > 0$ ，函数 $f (x) = (x - a - b) ln (x - a b + 4)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则（）

A、 $a b$ 的最小值为8； B、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为2； C、 $a + 2 b$ 的最小值为 $3 + 4 \sqrt{2}$ ； D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ .

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} |{log}_{3} x| ， 0 < x \leq 3 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 5 x + \frac{23}{2} ， x > 3 \end{cases}$ ，若 $a < b < c < d$ ， $f (a) = f (b) = f (c) = f (d)$ ，则 $a b (c + d) =$ （）

A、25 B、20 C、10 D、5

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3、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， P为椭圆上一点， $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最大值为2．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若直线 $l : x = m y - 2$ 与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线 $B C$ 过定点；

(3)、若曲线 $y = t e^{x} (t > 0)$ 与椭圆交于M，N两点，直线 $M N$ 的斜率为k，证明： $0 < k < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（参考公式： $\forall x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $e^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}} < \frac{e^{x_{1}} - e^{x_{2}}}{x_{1} - x_{2}} < \frac{e^{x_{1}} + e^{x_{2}}}{2}$ 成立）

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} - m \sin x (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[- \frac{3 π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上恰有2个零点，求m的取值范围；

(3)、若 $m > 0, n < 0, g (x) = f (x) + n x + \sqrt{2} m$ ， $x_{0}$ 是 $g (x)$ 的极值点，求证： $g (x_{0}) + n \ln 2 \geq n \ln (- n)$ ．

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5、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - k n, a_{5} = 7$ .数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $b_{1} = a_{2}, b_{4} (a_{2} + a_{5}) = 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求满足 $T_{n} > \frac{63}{32}$ 的最小的正整数 $n$ 的值.

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6、12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组： $[20, 40)$ ， $[40, 60)$ ， $[60, 80)$ ， $[80, 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)、从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；

(2)、若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

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7、山城小汤圆是传统小吃的代表之一，以糯米为皮，常用红豆、豆沙、芝麻等馅料，一碗手工制作的山城小汤圆共有 8 个，其中红豆、豆沙汤圆各 3 个，芝麻馅汤圆 2 个.小胡在碗中随机取出 4 个汤圆，在至少选到 1 个芝麻馅汤圆的条件下，则 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率为.

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8、已知实数 $a, b$ 满足 $a > 0, b > 0, a \neq 1, b \neq 1$ ，若 $a^{b} = b^{a}$ ，且 $\frac{a}{b} + \frac{\ln a}{\ln b} = 6$ ，则 $\frac{a}{b} =$ .

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9、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线方程为.

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，右焦点为 $F$ ，直线 $y = k x (k \neq 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $D$ 为 $C$ 上不同于 $P, Q$ 的一点，记直线 $D P, D Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ B、 $△ F P Q$ 面积的取值范围为 $(0, \sqrt{3})$ C、 $k_{1} k_{2} = \frac{3}{4}$ D、若点 $M$ 为 $C$ 上的动点，则 $|O M| + 2 |M F|$ 的最大值为8

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x {(x - 3)}^{2}, x \geq 0, \\ x^{3} + 3 x^{2} + 3 x, x < 0, \end{array}$ 则下列结论正确的有（）

A、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、 $x = 3$ 是 $f (x)$ 的极小值点 C、 $f (x)$ 恰有两个零点 D、当 $1 \leq a \leq 4$ ，若 $0 \leq x \leq a$ ，则 $0 \leq f (x) \leq 4$

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12、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{4} = 32, S_{6} = 72$ ，则（）

A、 $d = 4$ B、 $a_{5} = 16$ C、 $S_{5} = 52$ D、 $\frac{S_{n}}{n^{2}} = 2$

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13、我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为 $Ω$ ．若函数簇 $Ω$ 中的每一个函数都存在极小值点 $x_{0}$ ，且当参数k变化时，由所有的点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 构成一条曲线 $y = g (x)$ ，则称函数簇 $Ω$ 存在包络函数 $g (x)$ ．已知函数簇 $Ω =$ { $f_{k} (x)| f_{k} (x) = e^{x} - \frac{1}{2} k x^{2}$ ，其中k为参数}，若“ $k \in M$ ”是“ $Ω$ 存在包络函数 $g (x)$ ”的充要条件，则 $M =$ （）

A、 $(- \infty, 0) \cup (e, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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14、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的导函数 $f^{'} (x)$ 的部分图象如图所示，若函数 $f (x)$ 在区间 $(- a, a)$ 上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{π}{6}]$ B、 $(0, \frac{π}{3}]$ C、 $(0, \frac{2 π}{3}]$ D、 $(0, \frac{5 π}{6}]$

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15、已知函数 $f (x) = \cos (2 ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为T，若 $f (T) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则函数 $y = \sin (x - 6 φ) + \sin (2 x + 3 φ)$ 的最大值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{9}{8}$ C、2 D、 $\frac{9}{8}$

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16、已知 $a = \log_{0.8} 2.6, b = {2.6}^{0.9}, c = {0.8}^{0.9}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a ＞ b ＞ c$ B、 $c ＞ a ＞ b$ C、 $b ＞ c ＞ a$ D、 $c ＞ b ＞ a$

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17、某单位100名男员工的体重（单位： $kg$ ）（体重均在 $[55, 80)$ 内）经测量整理如下表所示.
体重
$[55, 60)$
$[60, 65)$
$[65, 70)$
$[70, 75)$
$[75, 80)$
频数
15
35
32
15
3
根据表中数据，下列结论正确的是（）

A、这100名男员工的体重的中位数大于 $65.5 kg$ B、这100名男员工中体重不低于 $70 kg$ 的员工占比超过20% C、这100名男员工的体重的极差介于 $25 kg$ 至 $30 kg$ 之间 D、这100名男员工的体重的平均值介于 $62.8 kg$ 至 $67 .8kg$ 之间

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18、设 $(2 + i) x = 4 - y i$ ，其中 $x, y$ 是实数，则 $|x + y i| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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19、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 15 < 0\}, B = \{x ∣ {log}_{2} x - 1 > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 3, 3)$ B、 $(3, 5)$ C、 $(- 3, 5)$ D、 $(2, 5)$

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20、设正整数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ a_{n} +3, a_{n} 为奇数 \end{matrix}$ $(n = 1, 2, ......)$ ．

(1)、若 $a_{5} = 1$ ，请写出 $a_{1}$ 所有可能的取值；

(2)、记集合 $M = \{a_{n} | n \in N^{*}\}$ ，证明：若集合 $M$ 存在一个元素是3的倍数，则 $M$ 的所有元素都是3的倍数；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 为周期数列，求 $a_{1}$ 所有可能的取值.

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体重	$[55, 60)$	$[60, 65)$	$[65, 70)$	$[70, 75)$	$[75, 80)$
频数	15	35	32	15	3