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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (2 cos α, - 1), \vec{b} = (3 cos α, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2、已知圆锥的表面积为 $3 π$ $m^{2}$ ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为（）

A、1m B、2m C、 $\sqrt{3}$ m D、 $2 \sqrt{3}$ m

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3、在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, C D = 3 A B$ ，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，且 $A E = \frac{1}{2} E C$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $2 \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A D}$

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，若点 $(- 6, 0)$ 与点F关于直线l对称，则 $p =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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5、已知复数 $z = 1 - i$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z} + z^{2} =$ （）

A、 $1 - 3 i$ B、 $1 + 3 i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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6、设集合 $A = \{x |\sqrt{x} = x\}$ ， $B = \{x |\frac{1}{x} > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 $\{1\}$ B、 $\{0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $(0, 1)$

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7、如图，圆锥的轴截面PAB是边长为2的正三角形，C，D为底面圆周上的点，且 $△ B C D$ 是正三角形，E为母线PB上的一动点．

(1)、若 $P A / /$ 平面CDE，求PE的长；

(2)、若直线DE与平面 $B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ．求平面 $C D E$ 与平面 $B C D$ 夹角的余弦值．

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8、已知函数 $f (x) = sin 2 ω x + 2 \sqrt{3} {cos}^{2} ω x - \sqrt{3} (ω > 0)$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ ，求使 $g (x) \geq - 1$ 成立的 $x$ 的取值集合．

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，若 $a_{1} = 3, a_{4}^{2} = 2 (a_{3} + a_{5} + 6)$ ，则 $a_{3} =$ .

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{6}$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左右两支分别交于点 $A, B$ ，直线 $A O$ 交双曲线 $C$ 于另一点 $D$ ，连接 $O B, B D$ ， $D F$ ，则（）

A、 $D F ⊥ O F$ B、 $|A F| = 5 |B F|$ C、 $∠ D O F = 2 ∠ B O F$ D、 $∠ A D B = ∠ F D B$

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11、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $a_{2} + a_{4} = 5$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{1} = 8$ B、 $q = \frac{1}{2}$ C、 $a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ 的最大值为64 D、当 $a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ 取最大值时， $n = 3$

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12、过抛物线 $E : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点， $Q (1, 2)$ ，若 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |} = \frac{1}{4}$ ，则 $| P F | + | P Q |$ 的最小值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、若函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{4 x - x^{2}}}$ ，则 $g (x) = f (2^{x}) + \log_{2} (x + 1)$ 的定义域为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(- 1, 4)$

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14、一个封闭的直棱柱形容器（容器壁厚度忽略不计），其侧面展开图为一长 $3 \sqrt{2}$ cm，宽1cm的矩形，容器中放一小球，则该小球半径的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3} c m$ B、 $\frac{1}{2} c m$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} c m$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2} c m$

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15、已知全集 $U = {x |x$ 是小于12的素数 $}$ ，集合 $A = \{5, 7, 11\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 9\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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16、已知 $z = \frac{5 - i}{1 + i}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 3$ B、2 C、3 D、6

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17、每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享.2025届高三年级班号依次为 $0, 1, 2, \dots, 27$ ，高三0班的优秀学生代表为2名男生和2名女生，其余各班的优秀学生代表均为1名男生和1名女生．第一场分享会的4名学生嘉宾由从高三0班的优秀学生代表中选出的2名和高三1班的2名优秀学生代表共同组成，第二场分享会的4名学生嘉宾由从上一场的4名嘉宾中选出的2名和高三2班的2名优秀学生代表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会．

(1)、求第一场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；

(2)、求第二场分享会的学生嘉宾中恰有2名男生的概率；

(3)、记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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18、已知抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过 $E$ 上一动点 $A$ 作斜率为2的直线 $l, l$ 与 $E$ 交于另一点 $B$ ，当点 $A$ 与原点 $O$ 重合时， $|A B| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求 $p$ ．

(2)、当 $l$ 不经过点 $N (4, 1)$ 时，直线 $A N$ 与 $E$ 交于另一点 $C$ ，直线 $B N$ 与 $E$ 交于另一点 $D$ ．
（i）证明： $A B / / C D$ ；
（ii）试判断直线 $A D$ 与 $B C$ 是否交于定点，若是，请求出定点的坐标，否则，请说明理由．

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19、已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 x + 2 a (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a > \frac{2}{e^{2}}$ 时，证明： $a^{2} e^{x} > x f (x) + 2 x^{2} - 2 a x$ ．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D ， B C = C D = 2 ， A B = 4 ， P C = P D = 3$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D ， P D ⊥ B C ， Q$ 是棱 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $A B Q$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

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