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相关试卷

1、如图，设 $O x ， O y$ 是平面内相交成 $θ$ 角的两条数轴， $θ \in (0^{\circ} ， 180^{\circ})$ ， $\vec{e_{1}} ， \vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴、 $y$ 轴同方向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $[x ， y]$ 叫做 $\vec{O P}$ 在仿射坐标系 $O x y$ 中的斜坐标．

(1)、若 $\vec{a} = [1 ， 2]$ ， $\vec{b} = [2, λ]$ ， $\vec{a} // \vec{b}$ 求 $λ$ ；

(2)、若 $θ = 60^{\circ}$ ， $\vec{a} = [1 ， 2]$ ， $\vec{b} = [- 1 ， 1]$ ，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的斜坐标；

(3)、若 $\vec{a} = [1 ， 1]$ ， $\vec{b} = [3 ， 1]$ ， $\vec{c} = [2 ， - 1]$ ， $|\vec{c}| \leq \sqrt{2}$ ，求 $cos 〈\vec{a}, \vec{b}〉$ 的最小值．

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2、如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量 $\cos A = \frac{12}{13}$ ， $\cos C = \frac{3}{5}$ ，其中A，C均为锐角．

(1)、求索道AB的长；

(2)、问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)、为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

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3、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如下图所示，若函数 $f (x)$ 的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求 $g (x)$ 在 $[1, 2]$ 上的单调递减区间；

(3)、若 $g (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上恰有2026个零点，求 $b - a$ 的取值范围．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离为2， $A D = 2$ ， $E 、 F$ 分别是 $P B$ 和 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求三棱锥 $C - P B D$ 的体积．

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5、柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，由 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ 得到 ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ ，当且仅当 $x_{1} y_{2} = x_{2} y_{1}$ 时取等号.现已知 $a \geq 0$ ， $b \geq 0$ ， $a + b = 9$ ，则 $\sqrt{2 a + 4} + \sqrt{b + 1}$ 的最大值为.

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6、已知向量 $\vec{a} = (- t, - 1)$ ， $\vec{b} = (t, 16 t)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角，则 $t$ 的取值范围为．

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7、已知一个圆台的轴截面为梯形 $A B C D$ ，若 $A B = 2 C D = 4 ， ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，则该圆台的侧面积为．

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8、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a + b = \sqrt{3}$ ，且 $b sin C cos C + c sin C cos B = \sqrt{3} a cos C$ ，则（）

A、 $B = \frac{π}{2}$ B、 $C = \frac{π}{3}$ C、 $△ A B C$ 的面积可以是1 D、 $△ A B C$ 的周长可以是3

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9、下列命题中正确的有（）

A、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B、平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C、有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D、正棱锥的侧面是全等的等腰三角形.

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10、已知 $A, B$ 分别是 $x, y$ 轴正半轴上的两个动点，且 $A B = 1$ ，如图，以 $A B$ 为边构造正方形 $A B C D$ ，分别过点 $C, D$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足依次为 $E, F$ ，当点 $A$ 由 $(1, 0)$ 向左运动到原点的过程中，四边形 $C E F D$ 周长取得最大值时，点 $A$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 0)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ C、 $(\frac{\sqrt{10}}{10}, 0)$ D、 $(\frac{3 \sqrt{10}}{10}, 0)$

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11、将函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，所得函数图象与函数 $y = cos 2 x$ 的图象重合，则实数 $m$ 的最小值（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (3, - 2)$ ， $\vec{b} = (x, y - 1)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，若 $x, y$ 均为正数，则 $\frac{3}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、8 D、24

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13、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ， $E$ 为 $A D$ 中点，若 $\vec{C E} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{3}{16}$

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15、已知 $z (3 - i) = 10 (1 + 2 i)$ ，则 $|z| =$ （）

A、5 B、 $5 \sqrt{2}$ C、 $10 \sqrt{2}$ D、50

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} - x + a ln x, a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程.

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(3, + \infty)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围.

(3)、若 $a > 0$ ，且 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a - 2$ .

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} (n \geq 2)$ ， $a_{2} = 2$ .

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设数列 $\{\frac{1}{n \log_{2} a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 2$ .

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b \cos C = 2 a - c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19、已知直线 $y = x$ 是函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ 和函数 $g (x) = ln x + b$ 图象的公切线，则 $2^{a} + 3 b =$ .

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20、若根据样本数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{15}, y_{15})$ 得到的回归直线方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，且 $\sum_{i = 1}^{15} x_{i} = 60$ ， $\sum_{i = 1}^{15} y_{i} = 150$ ，则 $\hat{a} =$ ．

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