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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且满 $(b - a) (\sin B + \sin A) = c (\sqrt{3} \sin B - \sin C)$ .
（1）求 $A$ 的大小；
（2）再在① $a = 2$ ， ② $B = \frac{π}{4}$ ， ③ $c = \sqrt{3} b$ 这三个条件中，选出两个使 $△ A B C$ 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求 $△ A B C$ 的面积.

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2、已知直线 $l : y = k x + b$ 和曲线 $C : y = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ，给出下列四个结论：
①存在实数 $k$ 和 $b$ ，使直线 $l$ 和曲线 $C$ 没有交点；
②存在实数 $k$ ，对任意实数 $b$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 恰有 $1$ 个交点；
③存在实数 $b$ ，对任意实数 $k$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 不会恰有 $2$ 个交点；
④对任意实数 $k$ 和 $b$ ，直线 $l$ 和曲线 $C$ 不会恰有 $3$ 个交点．
其中所有正确结论的序号是．

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3、在等腰梯形 $A B C D$ 中，设 $\overset{⃑}{A B} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{D C} = 2 \overset{⃑}{A B}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，则 $\overset{⃑}{A M}$ =（用 $\overset{⃑}{a}$ 和 $\overset{⃑}{b}$ 表示），当 $x =$ 时， $| \overset{⃑}{b} - x \overset{⃑}{a} |$ 最小.

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4、若双曲线经过点 $(1, \sqrt{3})$ ，其渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则双曲线的方程是.

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5、设 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，则 $a_{0} =$ ；当 $a_{8} = - a_{9}$ 时， $n =$ ．

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6、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{\lg (x + 1)}$ 的定义域为．

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7、在直角坐标系 $x O y$ 中，全集 $U = \{(x, y) |x, y \in R\}$ ，集合 $A = \{(x, y) |x \cos θ + (y - 4) \sin θ = 1, 0 \leq θ \leq 2 π\}$ ，已知集合A的补集 $∁_{U} A$ 所对应区域的对称中心为M，点P是线段 $x + y = 8$ （ $x > 0$ ， $y > 0$ ）上的动点，点Q是x轴上的动点，则 $△ M P Q$ 周长的最小值为（）

A、24 B、 $4 \sqrt{10}$ C、14 D、 $8 + 4 \sqrt{2}$

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8、在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位： ${W/m}^{2}$ ）的相对大小，具体关系式为 $y = 10 \lg (\frac{I}{I_{0}})$ ，其中基准值 $I_{0} = 10^{- 12} W / m^{2}$ .若声强度为 $I_{1}$ 时的声强级为60dB，那么当声强度变为 $4 I_{1}$ 时的声强级约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）

A、63dB B、66dB C、72dB D、76dB

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9、把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减

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10、设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点P为C上的任意点，若点A使得 $| A P | + | P F |$ 的最小值为4，则下列选项中，符合题意的点A可为（）

A、 $(4, 2)$ B、 $(4, 4)$ C、 $(3, 3)$ D、 $(3, 4)$

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11、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则“ $S_{n} = n^{2} - n$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为2的等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = |1 + i|$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \sqrt{2} i$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2} i$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、设 $A = \{x |x > 1\}, B = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > - 1\}$ B、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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14、设集合 $\{2^{α} + 2^{β} ∣ 0 \leq α < β$ 且 $α, β \in Z\}$ 中所有的数从小到大排列构成数列 $\{a_{n}\}$ ，并将数列 $\{a_{n}\}$ 的各项依次按照上小下大，左小右大，第 $n$ 行共有 $n$ 项的原则，写成如下的数表．

(1)、写出该数表第4行各项的数；

(2)、求 $a_{50}$ ；

(3)、设 $a_{N}$ 位于数表的第 $n$ 行，若 $N > 200$ ，且该数列前 $N$ 项的和能被 $2^{n}$ 整除，求 $N$ 的最小值．

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15、已知函数 $f (x) = x^{α} - b x + b - 1$ ．

(1)、当 $α = \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $α = 3$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 有三条过点 $(- 1, 0)$ 的切线，求 $b$ 的取值范围；

(3)、设 $p, q$ 为非负实数， $s, t$ 为正实数，若 $s + t = 1$ ，证明： $p^{s} q^{t} \leq p s + q t$ ．

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16、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, A, B$ 为 $C$ 上两点，线段AB中点的横坐标为 $- 1$ ，当 $A B ⊥ x$ 轴时， $| A B | = \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、当AB不垂直 $x$ 轴时，设线段AB的中垂线与 $x$ 轴的交点为 $P$ ，求 $|O P|$ ．

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17、如图，在直平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在棱 $C C_{1}$ 上．

(1)、若 $A C_{1} //$ 平面 $B P D$ ，证明： $P C = P C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = B C, A A_{1} = 2 \sqrt{2}, ∠ B A D = 60^{°}$ ，直线 $A D_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $30^{°}$ ，平面 $B P D$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，求 $C P$ ．

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \frac{\sin 2 A}{1 + \cos 2 A} = \frac{\cos B - \cos C}{\sin C - \sin B}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 是边BC上一点， $A D = D C = 2 B D, c = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = A B = 4, ∠ A C B = 90^{°}$ ．若 $Q$ 为侧面 $P A B$ 内的动点， $C Q = 2 \sqrt{2}$ ，当该三棱锥的体积最大时， $Q$ 的轨迹与 $A B, P B$ 所围成区域的面积为．

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20、有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为．

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