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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 内一点P满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ，则称P为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $α$ 为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如 $∠ A P C = π - ∠ B A C = ∠ A B C + ∠ A C B$ ，若下列问题中的点P为 $△ A B C$ 的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：

(1)、求证：正 $△ A B C$ 的外心 $O$ 是 $△ A B C$ 的布洛卡点；

(2)、若 $△ A B C$ 满足 $A B = A C = 2$ ，且 $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ 时，求 $\tan α$ ；

(3)、角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $∠ A B P = ∠ P B C = α$ ，且 $a = c$ ，若 $△ A B C$ 的周长为4，试把 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 表示为b的函数 $f (b)$ ，并求 $f (b)$ 的值域.

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2、如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 在边 $A B$ 上运动， $F$ 在边 $B C$ 上运动， $A F$ 与 $D E$ 交于点G.

(1)、若E，F分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点，用向量法证明 $A F ⊥ D E$ ；

(2)、若E是 $A B$ 的中点， $B C = 3 B F$ ， $\vec{A G} = λ \vec{A F}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、若 $A E = B F$ ， $\vec{D G} = m \vec{D A} + n \vec{D F}$ ，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ， $(2 b - c) cos A = a cos C .$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b + c = 7 ， a = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、如图空间四边形 $A B C D$ ， E、F、G、H分别为 $A B$ 、 $A D$ 、 $C B$ 、 $C D$ 的中点且 $A C = B D$ ，试判断四边形 $E F H G$ 的形状，并给予证明.

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5、若正六棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为.

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6、若 $z = x + y i (x, y \in R)$ 满足 $|z - (2 + i)| = 3$ ，则 $|z|$ 的最大值是.

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7、在 $△ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ，三角形的面积为 $S$ ，周长为 $l$ ，则下列关于 $△ A B C$ 的说法正确的是（）

A、 $l \in (6, 10)$ B、 $S$ 的最大值为3 C、 $A B \cdot (3 \cos B - 2 \cos A) = 5$ D、若 $B = 30^{\circ}$ ，则满足条件的 $△ A B C$ 恰有一个

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8、如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么以下说法正确的是（）

A、直线 $E F$ 和直线 $H G$ 是异面直线 B、直线 $A B$ 和直线 $H G$ 是异面直线 C、直线 $A B$ 和直线 $C D$ 是异面直线 D、直线 $G E$ 和直线 $B D$ 是异面直线

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9、已知复数 $z = a + b i$ ， $a, b \in R$ ，且 $b \neq 0$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z - \bar{z}$ 是纯虚数 B、 $z^{2}$ 是实数 C、 $z \cdot i$ 是虚数 D、若 $|z| = 1$ ，则 $z + \frac{1}{z}$ 是实数

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10、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得 $∠ B C D = 60 °$ ， $∠ B D C = 45 °$ ， $C D = 100$ ，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高 $A B =$ （）

A、 $100 (\sqrt{3} + 1)$ B、 $100 (\sqrt{3} - 1)$ C、50 D、 $100 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$

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11、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 72$ B、 $- 36$ C、36 D、72

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12、已知点 $O$ 、 $N$ 、 $P$ 在 $△ A B C$ 所在平面内，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ， $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则点 $O$ 、 $N$ 、 $P$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、重心、外心、垂心 B、重心、外心、内心 C、外心、重心、垂心 D、外心、重心、内心

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13、棱台不具有的性质是（）

A、两底面相似 B、侧面都是梯形 C、侧棱延长后交于一点 D、侧棱长都相等

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14、已知复数 $z = 1 + (3 + 2 i) \cdot i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 3$ B、 $- 3 i$ C、 $3$ D、 $3 i$

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15、已知函数 $f (x) = - 2 \sin^{2} x + 2 \cos x + t$ ，其中t为常数.

(1)、当 $x \in [- \frac{2 π}{3}, \frac{π}{3}]$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，求实数t的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $(- π, - \frac{π}{2})$ 上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明： $\cos m > \sin n$

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16、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 \sin x \cdot \cos (x - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期、单调增区间、对称中心；

(2)、当 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(3)、当 $x \in (0, m)$ 时，方程 $f (x) = - 1$ 有3个不同的实数根，求实数 $m$ 的取值范围．

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17、（1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，求作向量 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ .
（2）设两个非零向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{B C} = 2 \vec{e_{1}} + 8 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ .
①若 $k \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 共线，求实数 $k$ 的值；
②求证： $A$ 、 $B$ 、 $D$ 三点共线.

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18、如图， $A B$ 为半圆的直径，点 $C$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，点 $M$ 为线段 $A B$ 上的一动点（含端点 $A$ 、 $B$ ）．若 $A B = 2$ ，则 $|\vec{A C} + \vec{M B}|$ 的取值范围是

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19、定义运算 $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = a d - b c$ ．若复数 $x = \frac{1 - i}{1 + i}$ ， $y = |\begin{array}{r} 4 i & x i \\ 2 & x + i \end{array}|$ ，则 $| x | =$ ， $y =$ ．

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20、如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（）

A、63颗 B、126颗 C、378颗 D、504颗

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