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相关试卷

1、已知圆心为C的圆经过点 $A (1, 1)$ 和 $B (2, - 2)$ ，且圆心C在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆心为C的圆的一般方程；

(2)、已知 $P (2, 1)$ ， Q为圆C上的点，求 $|P Q|$ 的最大值和最小值．

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2、已知函数 $f (x) = \log_{2} (\sqrt{1 + x^{2}} + x) - \frac{2}{2^{x} + 1} + 2, (x \in R)$ ，若 $\exists θ \in [0, \frac{π}{3}]$ ，使关于 $θ$ 的不等式 $f (2 \sin θ \cos θ) + f (4 - 2 \sin θ - 2 \cos θ - m) < 2$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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3、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4), \vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量坐标为.

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4、已知点 $P (2, 3, - 1)$ 关于坐标平面 $O x y$ 的对称点为 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于坐标平面 $O y z$ 的对称点为 $P_{2}$ ，点 $P_{2}$ 关于 $z$ 轴的对称点为 $P_{3}$ ，则 $|P P_{3}| =$ ．

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5、已知点 $A$ 是圆 $P : {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上任意一点，点 $Q$ 是直线 $x + y - 5 = 0$ 与 $x$ 轴的交点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、以线段 $A Q$ 为直径的圆周长最小值为 $8 π$ B、 $△ A P Q$ 面积的最大值为 $\frac{5}{2}$ C、以线段 $A Q$ 为直径的圆不可能过坐标原点 $O$ D、 $\vec{Q O} \cdot \vec{Q A}$ 的最大值为25

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6、若圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，且圆心坐标为 $(1, 2)$ ，则圆 $C$ 的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 1 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 1 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 3 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 = 0$

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7、两条直线 $l_{1} : \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ 和 $l_{2} : \frac{x}{b} - \frac{y}{a} = 1$ 在同一直角坐标系中的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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8、方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y = a$ 表示圆，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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9、已知点 $A (4, 2 \sqrt{3}), B (1, \sqrt{3})$ ，若向量 $\vec{A B}$ 是直线 $l$ 的方向向量，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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10、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = k P A$ ，点 $O$ ， $D$ 分别是 $A C$ ， $P C$ 的中点. $O P ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证： $O D / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $P B C$ 内的射影恰好为 $△ P B C$ 的重心？

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11、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} (b \cos C + c \cos B) = 2 a \sin A$

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、在（1）的条件下，若 $\sin C = \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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12、如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.

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13、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} = - 2$ ， $S_{7} = 14$ ，则 $a_{10} =$ .

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14、法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：椭圆的两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆（称为椭圆的蒙日圆）.已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左､右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上异于 $A_{1}, A_{2}$ 的动点，点 $Q$ 是该椭圆的蒙日圆上的动点，则下列说法正确的是（）

A、该椭圆的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 35$ B、存在点 $Q$ 使 $△ F_{1} Q F_{2}$ 的面积为25 C、使 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{\circ}$ 的点 $P$ 有四个 D、直线 $P A_{1}, P A_{2}$ 的斜率之积 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}} = - \frac{2}{5}$

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15、下列说法正确的是（）

A、若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 1)$ 为偶函数，则 $μ = \frac{1}{2}$ B、数据7，5，3，10，2，6，8，9的上四分位数为8 C、已知 $0 < P (M) < 1$ ， $0 < P (N) < 1$ ，若 $P (M| N) + P (\bar{M}) = 1$ ，则 $M$ ， $N$ 相互独立 D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 3.937$ 依据 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $X_{0.05} = 3.841$ ），可判断 $X$ 与 $Y$ 有关且犯错误的概率不超过0.05

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16、若关于 $x$ 的方程 $\log_{\frac{1}{3}} (a - 3^{x}) = x - 2$ 有解，则实数 $a$ 的最小值为

A、4 B、6 C、8 D、2

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17、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $(0, 2 π)$ 上恰有3个实数根，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{25}{24}, \frac{31}{24})$ B、 $(\frac{31}{24}, \frac{37}{24}]$ C、 $(\frac{31}{24}, \frac{47}{24}]$ D、 $(\frac{31}{24}, \frac{61}{24})$

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18、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的减函数，且 $f (x - 1) < f (1 - 3 x)$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $[0, \frac{1}{2})$ D、 $[0, \frac{2}{3}]$

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19、已知复数 $z$ 满足 $\frac{z - 1}{1 + 2 i} = \frac{2}{i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $5 + 2 i$ B、 $5 - 2 i$ C、 $4 + 2 i$ D、 $4 - 2 i$

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20、1637年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设 $O x$ 、 $O y$ 是平面内相交成 $α (0 < α < π)$ 的两条射线， $\vec{e_{1}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 分别为 $O x$ 、 $O y$ 同向的单位向量，定义平面坐标系 $x O y$ 为 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系，在 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $\vec{O P} = (x, y)$ .

(1)、在 $x O y_{(\frac{3 π}{4})}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{a} = (\sqrt{2}, 1)$ ，求 $|\vec{a}|$ ；

(2)、在 $x O y_{(α)}$ 仿射坐标系中，若 $\vec{a} = (- 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $\sin α$ ；

(3)、如图所示，在 $x O y_{(\frac{π}{3})}$ 仿射坐标系中， $B$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴正半轴上， $|\vec{B C}| = 1$ ， $\vec{O D} = \frac{7}{19} \vec{O C}$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $B D$ 、 $B C$ 中点，求 $\vec{O E} \cdot \vec{O F}$ 的最大值.

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