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相关试卷

1、某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）

(1)、应收集多少位女生样本数据？

(2)、根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为： $[0, 2]$ ， $(2, 4]$ ， $(4, 6]$ ， $(6, 8]$ ， $(8, 10]$ ， $(10, 12]$ ．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率．

(3)、视样本数据的频率为概率，现从全校取4名学生，记 $X$ 为这四名学生中运动时间超过4小时的人数，求 $X$ 的分布列以及数学期望．

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} (x - a) - x - a$ 有两个不同零点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a < - 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = 0$ C、 $(e^{x_{1}} + 1) (e^{x_{2}} + 1) (e^{x_{1}} + e^{x_{2}}) > 8$ D、 $x_{1} + 2 a < x_{2} < x_{1} + 2 a + \frac{4}{3}$

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3、为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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4、不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．

(1)、现从盒子里随机取出2个小球，记事件 $A =$ “有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件 $B =$ “不放回地依次取出时，取出小球编号之和为 $n$ ”，当 $n = 5$ 时，分别求事件 $A, B$ 的概率；

(2)、某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签．
游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜；
游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为 $n$ 时获胜．
小明同学决定先玩游戏一，当 $n$ 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？

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5、某校在2025年高三二轮复习备考中，年级备课组命制了一套与数学新定义有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从全部高三年级学生的成绩中随机抽取了100名学生的成绩，并将成绩按照 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成了5组.制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

(1)、求频率分布直方图中的x的值：

(2)、估计所抽取的100名学生成绩的平均数、中位数；（同一组中的数据用该组所在区间的中点值作代表）

(3)、若按人数比例用分层随机抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求成绩在 $[70, 80)$ 内的至少有2人被抽到的概率.

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6、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°.

(1)、求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 的值；

(2)、若向量 $2 \vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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7、如图，在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $B A_{1} //$ 平面 $C_{1} A D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B C - A$ 的正切值．

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8、某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为 $120 °$ 的扇形，则该圆锥的底面直径为．

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9、中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件 $E =$ “只去黄鹤楼”，事件 $F =$ “至少去两个名楼”，事件 $G =$ “只去一个名楼”，事件 $H =$ “一个名楼也不去”，事件 $I =$ “至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（）

A、E与H是互斥事件 B、F与I是互斥事件，且是对立事件 C、 $I = G \cup H$ D、 $E = G \cap I$

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10、甲､乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为 $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}$ ，则甲､乙两人一起破译这份密码，密码被成功破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{20}$ B、 $\frac{7}{20}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{9}{20}$

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11、如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（）

A、MN∥PD B、MN∥PA C、MN∥AD D、以上均有可能

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12、下列几何体中，不是旋转体的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、复数 $z = - 1 - 2 i$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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14、随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码x
1
2
3
4
5
交易额y
9
12
17
21
26

(1)、统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若 $r \in [- 1, - 0.75]$ ，则负相关性很强；若 $r \in [0.75, 1]$ ，则正相关性很强；若 $r \in (- 0.75, - 0.30] \cup [0.30, 0.75)$ ，则相关性一般；若 $r \in (- 0.3, 0.3)$ ，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度.

(2)、求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 43$ ； $\sqrt{465} \approx 21.6$
参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $x \in [- 1, 2]$ 上的值域．

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16、在 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中 $x^{3}$ 的系数为．（用数字作答）

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17、若 $\forall x \in (1, + \infty)$ ，不等式 $e^{x + \ln a} + \ln a + 1 \geq \ln (x - 1)$ 恒成立（其中 $e$ 是自然对数的底数），则实数 $a$ 的最小值为（）

A、 $e^{- 2}$ B、 $e^{- 1}$ C、 $e$ D、 $e^{2}$

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18、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = 6$ ，若 $a_{1}$ ， $a_{2} + 3$ ， $a_{3}$ 成等差数列，则 $\{a_{n}\}$ 的公比为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球， $A$ 表示事件“两次取出的球颜色相同”， $B$ 表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、 $\frac{7}{8}$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 n^{2} + 1$ ，则 $a_{1} + a_{4} =$ （）

A、16 B、17 C、20 D、21

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
年份代码x	1	2	3	4	5
交易额y	9	12	17	21	26