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相关试卷

1、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B B_{1}$ ， $A A_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点， $G$ 为线段 $E F$ 上的动点.

(1)、证明： $B_{1} G / /$ 平面 $A C D$ .

(2)、若 $G$ 为线段 $E F$ 的中点，且 $A B = 4$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A G$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值.

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2、来自某校高二年级的4名男生和3名女生组成的7人团队参加数学建模竞赛.该竞赛包含方案设计、模型构建、编程实现、成果展示四个环节，分配规则如下：①每个环节至少安排1名选手，每人只参加1个环节；②方案设计环节人数多于模型构建环节人数；③编程实现环节至少安排2人，且至少有1名女生；④成果展示环节人数不超过方案设计环节人数.根据分配规则，该团队参赛的不同的人员分配方案共有种.

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3、已知 $P$ 是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上一点，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，若 $| P A | = 2 | P B |$ ，过点 $A$ 作 $P B$ 的垂线，垂足为 $H$ ，则 $| A H | =$ ，点 $H$ 到 $y$ 轴的距离为.

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4、设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则不等式 $1 \leq 2^{[x]} \leq 4$ 的解集为.

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5、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Q B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P$ ， $Q$ 在平面 $A B C D$ 的同一侧，且 $P A = Q B = 2$ ，则（）

A、点 $Q$ 在四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的球面上 B、四棱锥 $Q - A B C D$ 内切球的表面积为 $(26 - 16 \sqrt{2}) π$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 与四棱锥 $Q - A B C D$ 公共部分的体积为 $\frac{5}{3}$ D、四棱锥 $Q - A B C D$ 的四个侧面所在平面将空间分成14个部分

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对任意实数 $x$ ， $y$ ， $f (x + y) + f (x - y) + f (y - x) + f (1 + y) = 3 x + 6 y - 5$ 恒成立，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $x f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{3}$ C、 $f (2) < 4$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2}{3}, 0)$ 对称

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7、若函数 $f (x) = - 1 - \sin ω x$ （ $ω > 0$ ）在 $(0, π)$ 内存在唯一的 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = - 2$ ，则 $ω$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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8、若非负数 $x$ ， $y$ 满足 $y^{2} - 2 \sqrt{x} = 6 \sqrt{y^{2} - x}$ ，则 $y$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{42}$ B、42 C、 $2 \sqrt{10}$ D、40

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9、函数 $f (x) = \frac{32}{5} x^{5} - 6 x^{4} + x^{2} - 2$ 的极值点的个数为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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10、若 $\sqrt{3} \sin \frac{α}{2} + \cos \frac{α}{2} > \frac{1}{2}$ ，则 $cos (α - \frac{5 π}{3})$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, \frac{7}{8})$ B、 $(\frac{7}{8}, 1]$ C、 $[- 1, \frac{3}{4})$ D、 $(\frac{3}{4}, 1]$

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11、某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为（）

A、26.8吨 B、27.7吨 C、28.3吨 D、29.2吨

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12、在正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 为棱 $B C$ 的中点， $\vec{C F} = 3 \vec{F D}$ ， $\vec{C G} = 3 \vec{G A}$ ，则 $\cos ∠ G E F =$ （）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $\frac{5}{14}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{14}$

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13、若 $z^{2} = - 3 + 4 i$ ，则 $z$ 的虚部与实部的比值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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14、设集合 $A = \{y |y = \lg (4 - x)\}$ ， $B = \{y |y = |x| + \frac{2}{|x|}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2 \sqrt{2}, + \infty)$ B、 $[2 \sqrt{2}, 4)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $[3, 4)$

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15、已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 互相垂直，则 $|\vec{a} - \sqrt{2} \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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16、已知 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ，设 $y = f (x)$ 与 $y = x - n - 1 (n \in N^{*})$ 的图象位于第一象限的交点为 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、证明： $n + 1 < x_{n} < n + 1 + \frac{1}{n}$ ；

(3)、证明： $x_{n + 1} - x_{n} > \frac{e}{e + 1}$ ．

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17、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，其离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $Γ$ 上的点到其中一个焦点的距离的最小值为 $2 - \sqrt{3}$ ，过点 $G (1, 0)$ 的直线交椭圆于 $C, D$ 两点，直线 $C B, D B$ 分别交直线 $l : x = 4$ 于点 $M, N$ ．

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、证明： $A, D, M$ 三点共线；

(3)、试问以 $M N$ 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A D, A B // D C, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = D C = 2 A B = 2$ ．过点A作平面 $α$ 与棱 $P B, P C, P D$ 交于点 $E, F, G$ ，其中 $\frac{P E}{P B} = \frac{2}{3}$ ，且点G为 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $A G //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求 $\frac{P F}{P C}$ 的值；

(3)、求平面 $α$ 与平面 $A B C D$ 夹角的余弦值．

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19、某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节．在育苗环节，每粒种子的成活率为p．在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q．若该农作物育苗成功且移栽成活则认为种植成功．每粒种子种植是否成功互不影响．

(1)、若一粒种子种植成功的概率为 $\frac{1}{2}$ ，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为 $\frac{1}{4}$ ，现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为 $ζ$ ，求 $E (ζ)$ ；

(2)、播撒6粒种子，设种植成功的数量为X，求 $X = 5$ 的概率P，并求P的最大值．

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20、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}, A C = \sqrt{7}, D$ 是 $B C$ 的中点， $∠ A D B = \frac{π}{3}$ ．

(1)、当 $B D = 2 A D$ 时，求 $\sin B$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积S．

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