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相关试卷

1、函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，已知当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

(1)、当 $x < 0$ 时，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的单调性，并利用单调性的定义证明；

(3)、若 $f (2 a + 1) + f (2 - a^{2}) > 0$ ，求a的取值范围.

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2、已知 $\sin α = \frac{1}{3}$ ，且 $α$ 是第二象限角.

(1)、求 $\cos α$ ， $\tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{\cos^{2} α - \cos α \sin α}{\sin^{2} α + 1}$ 的值.

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3、求值：

(1)、 ${(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{- 2} + {(\sqrt{5} - π)}^{0} - {(3 \frac{1}{16})}^{0.5}$ ；

(2)、 $e^{2 \ln 3} - \log_{\frac{1}{4}} 9 \cdot \log_{27} 8 + \lg 4 + \lg 25$ ；

(3)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 4$ ，求 $a + a^{- 1}$ 的值.

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4、函数 $y = {(\frac{1}{3})}^{- x^{2} - 2 x + 1}$ 的单调递增区间是.

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5、已知 $f (x)$ 和 $g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的奇函数和偶函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ ，则（）.

A、 $f (x)$ 是增函数 B、 $g (- 2023) < g (2024)$ C、 $f (2 x) = 2 f (x) g (x)$ D、 $g (2 x) = {[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}$

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6、已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c \leq 0$ 的解集为 $\{x |x \leq - 2 或 x \geq 1\}$ ，则（）

A、 $a < 0$ B、 $c x + b > 0$ 的解集是 $\{x ∣ x < \frac{1}{2}\}$ C、 $a - b + c < 0$ D、 $c x^{2} + b x + a \leq 0$ 的解集为 $\{x| - \frac{1}{2} \leq x \leq 1\}$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + (5 a - 3) x + 2 a, x < 0 \\ \log_{a} (x + 1) + 1, x \geq 0 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $R$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{5}]$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{5}]$ C、 $[\frac{3}{5}, 1)$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{5}]$

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8、函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{3} + 8, x \leq 0, \\ \log_{4} x + x - 3, x > 0 \end{cases}$ 的零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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9、已知 $a = {0.5}^{0.1}$ ， $b = \log_{2} 3$ ， $c = \log_{0.3} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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10、设 $α$ 是第一象限的角，则 $\frac{α}{2}$ 所在的象限为（）

A、第一象限 B、第三象限 C、第一象限或第三象限 D、第二象限或第四象限

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11、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x + 2} \cdot \sqrt{x - 2}$ ， $g (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ B、 $f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 1}$ ， $g (x) = x + 2$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ ， $g (t) = \frac{t}{t^{2}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ ， $g (x) = x$

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12、函数 $f (x) = 3^{x} + a$ 与函数 $g (x) = \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $P (- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ ，则 $cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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14、已知集合 $M = \{0, 1, 2\}, N = \{x \in N^{*} |x < 3\}, M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 3\}$ D、 $\{x |0 < x < 3\}$

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15、已知以下事实：反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．

(1)、求双曲线 $C_{0}$ ： $y = \frac{1}{2 x}$ 的离心率；

(2)、将（1）中的曲线 $C_{0}$ 绕原点顺时针转 $\frac{π}{4}$ ，得到曲线 $C$ ，求曲线 $C$ 的方程；

(3)、已知点 $A$ 是（2）中曲线 $C$ 的左顶点．圆 $E$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）与直线 $l$ ： $x = 1$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $A P$ 、 $A Q$ 分别与双曲线 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点．试问：点A到直线 $M N$ 的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时 $r$ 的值；若不存在，说明理由．

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16、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} + \frac{1}{3 a_{n + 1}} = \frac{1}{6}$ ，且 $a_{1} = a_{3}$ ，则 $a_{2024} =$ .

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $M$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $N$ 为圆 $E : {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上任意一点，则 $|M N| - |M F_{1}|$ 的最小值为．

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18、已知棱长为3的正四面体 $A - B C D, \vec{A E} = λ \vec{A D}, \vec{B F} = μ \vec{B C}, \vec{E M} = \frac{1}{2} \vec{E F}, λ ， μ \in [0, 1]$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{E F} \cdot \vec{B C} = 0$ B、当 $μ < \frac{1}{2}$ 时， $|\vec{E F}| < \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、当 $|\vec{E F}| = \sqrt{5}$ 时， $λ + μ$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$ D、当 $|\vec{E F}| = \sqrt{5}$ 时，则 ${|\vec{A M}|}^{2}$ 的最大值为 $\frac{14 + 3 \sqrt{2}}{4}$

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 20$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - 4$ ， $(n \in N^{*})$ ，则（）

A、4是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 B、当 $S_{n}$ 最大时， $n$ 的值只能取5 C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 D、 $S_{5} = S_{7}$

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20、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{2 + a_{n}}$ ， $b_{n} = {(- 1)}^{n} (2 n + 1) a_{n} a_{n + 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{100} =$ （）

A、 $- \frac{400}{101}$ B、 $\frac{400}{101}$ C、 $\frac{408}{101}$ D、 $- \frac{408}{101}$

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