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相关试卷

1、已知定义在 $R$ 上且不恒为0的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R$ ，都有 $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则（）

A、 $f (8) = 12 f (2)$ B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $f (x^{n}) = n f (x)$ D、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (2^{0}) + f (2^{1}) + f (2^{2}) + \dots + f (2^{5}) = 258$

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2、若 $a b > 0, a + 2 b = 6$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $a b \leq \frac{9}{2}$ B、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 18$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{a^{2}}{a + 1} + \frac{4 b^{2}}{2 b + 1}$ 的最小值为 $\frac{7}{3}$

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3、（多选）下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, 3)$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{x - 1}$ 的定义域是 $(- 1, 1) \cup (1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2}$ 图象关于点 $(- 2, 1)$ 成中心对称 C、若函数 $f (\sqrt{x} - 1) = x - 3 \sqrt{x}$ ，则 $f (x) = x^{2} - x - 2 (x \geq - 1)$ D、若函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ ，则对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} \geq f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立， $f (2026) = 2026$ ，则不等式 $f (x) - x > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2026) \cup (2026, + \infty)$ B、 $(- 2026, 0) \cup (2026, + \infty)$ C、 $(- 2026, 2026)$ D、 $(- \frac{1}{2026}, \frac{1}{2026})$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2024 - a x}}{a - 1}$ 在 $[0, 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, 2024]$ B、 $(- \infty, 0) \cup (0, 2024]$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$

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6、已知 $a = {0.6}^{0.7}$ ， $b = {0.7}^{0.6}$ ， $c = {0.7}^{0.7}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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7、函数 $y = x^{\frac{2}{3}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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8、已知集合 $A = \{12, a^{2} + 4 a, a - 2\}$ ， $- 3 \in A$ ，则 $a =$ （）

A、-1 B、-3或1 C、3 D、-3

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9、已知函数 $f (x) = e^{x \cdot cos x}$ （ $e$ 为自然对数的底数）

(1)、求函数 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若对记 $g (x) = - x^{3} - 3 x \cdot cos x + (a + 3) x$ ，若 $\forall x \in [0, 1]$ ，有 $f (x) \leq e^{g (x)}$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 2$ ，证明： $cos 1 + cos \frac{2}{3} + cos \frac{1}{2} + cos \frac{2}{5} + \dots \dots + cos \frac{2}{n} < n - \frac{3}{2} + \frac{1}{n + 1}$

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10、设 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 与x轴的左右两个交点， $P_{1}, P_{2}$ 是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线 $A_{1} P_{1}$ 与 $A_{2} P_{2}$ 交点为点 $P$ .

(1)、求点 $P$ 轨迹方程 $Γ$ .

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线l交曲线Γ于 $C, D$ 两点，其中点 $C$ 在 $x$ 轴上方.设直线 $A_{1} D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A_{2} C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，探究 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由.

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11、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $\sqrt{S_{n}} = \frac{1}{2} (a_{n} + 1)$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}, n \in N^{*}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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12、已知函数 $f (x) = a x - (a + 1) ln (2 x) - \frac{1}{x} (a > 0)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 在其定义域一个子集 $(2 a - 1, 3)$ 内存在两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围并求 $f (x)$ 的极值.

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13、已知函数 $f (x) = sin ω x cos ω x - \sqrt{3} {cos}^{2} ω x + \frac{\sqrt{3} + 2}{2}$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式并求其单调递减区间；

(2)、若方程 $f (x) = \frac{1}{2}$ 在 $[0, m]$ 上恰有3个不相等的实数根，求实数 $m$ 的取值范围.

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14、 $△ A B C$ 外接圆半径为2，三个角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a cos B + b cos A = 2 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} < 0,$ ，则 $C =$ ； $2 a + 3 b$ 的最大值为.

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15、已知 $\sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则 $\frac{1}{\tan α} + \tan α =$ ．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + a x + b$ ，其中实数 $a > 0, b \in R$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $0 < a < 4$ 时， $f (x)$ 必有两个极值点 B、过点 $(2, b)$ 可以作曲线 $y = f (x)$ 的3条不同切线，则 $0 < a < \frac{16}{3}$ C、若 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ ，则 $2 a - b = 8$ D、若 $f (x)$ 有三个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $\frac{1}{f^{'} (x_{1})} + \frac{1}{f^{'} (x_{2})} + \frac{1}{f^{'} (x_{3})} = 0$

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17、已知将函数 $f (x) = 2 \sin^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 1$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{6}$ 得函数 $g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $g (x) = 2 cos 2 x$ C、 $g (x)$ 的对称轴为 $x = \frac{π}{2} + \frac{k π}{2}, k \in Z$ D、若函数 $h (x) = g (x) + g (x + \frac{π}{4})$ ，则 $y = 2 h (x) + x$ 在 $(- \infty, π)$ 上有6个零点

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18、下列说法正确的是（）

A、定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{3^{x} - b}{3^{x + 1} + a}$ ，且 $f (x) + f (- x) = 0$ ，则 $a + b = 4$ B、函数 $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} x} - {cos}^{2} x$ 的最小值为1 C、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (1 - x)$ ，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = x^{2} - 1$ ，则 $f (0) = 1$ D、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ， $f (x y) = x f (y) + y f (x)$ ，则 $f (1) = 0$

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19、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (4 - x) + f (x + 2) = 4$ ，且对 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，若 $\forall x \in [2, 4]$ ， $f (ln x^{2}) + f (2 a - x) \leq 4$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 4 - ln 2]$ B、 $[4 - ln 2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 5 - ln 4]$ D、 $[5 - ln 4, + \infty)$

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20、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若方程 $f (x) = 2 m$ 在 $[- \frac{7 π}{12}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1]$ B、 $(- 1, - \frac{1}{2}]$ C、 $(- 1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $[- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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