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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 6), \vec{b} = (1, x)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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2、已知半径为 $R_{1} (R_{1} =1)$ 的圆 $M_{1}$ 与射线 $l : y = k x (k > 0, x \geq 0)$ 、 $x$ 轴正半轴均相切，半径为 $R_{n} (R_{n} ＞ R_{n - 1}, n \geq 2)$ 的圆 $M_{n}$ 与射线 $l$ 、 $x$ 轴正半轴均相切，且与圆 $M_{n - 1}$ 外切，则下列结论正确的是（）

A、若 $k = \sqrt{3} ，$ 则 $R_{3} =9$ B、若 $k = \frac{4 \sqrt{2}}{7} ，$ 则点M₁₀的坐标为 $(512 \sqrt{2}, 256)$ C、若 $k = \frac{4 \sqrt{2}}{7} ，$ 则数列 $\{R_{n}\}$ 的前 $n$ 项和小于 $2^{n}$ D、 $\frac{R_{n}}{R_{n - 1}}$ 的取值范围为 $(1,3+2 \sqrt{2})$

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3、蜥蜴的体温与阳光照射的关系式近似为 $T (t) = \frac{120}{t + 5} + k$ （k为参数），其中 $T (t)$ 为蜥蜴的体温（单位：℃），t为太阳落山后的时间（单位：min）.已知太阳刚落山时，蜥蜴的体温为39℃，下列结论正确的是（）

A、太阳落山后，蜥蜴的体温始终高于15℃ B、太阳落山后的5min内，蜥蜴的体温始终高于28℃ C、从 $t = 5$ 到 $t = 15$ ，蜥蜴的体温下降了6℃ D、存在太阳落山后的a时刻，使得从 $t = a$ 到 $t = a + 5$ ，蜥蜴的体温下降15℃

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4、已知 $\cos 2 α + \tan α = 1$ ，则 $\tan α$ 的值可能为（）．

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $- 1$

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5、中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（）．

A、408种 B、336种 C、240种 D、120种

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6、若双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与 $Γ$ 的左、右两支分别交于A，B两点，且 $|A B| = |B F_{2}| = 2 |A F_{1}|$ ，则 $Γ$ 的离心率为（）．

A、2 B、3 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 1} - x$ 在区间 $[- k, k]$ 上的值域为 $[m, n]$ ，则 $m + n =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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8、下列区间中，函数 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) + 1$ 单调递增的是（）

A、 $(0, \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2}, π)$ C、 $(π, \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{2}, 2 π)$

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9、下列函数中，定义域和值域相同的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = 2^{x}$ C、 $y = ln |x|$ D、 $y = tan x$

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10、已知复数 $z = 3 + a i (a \in R)$ 在复平面内对应的点在第一象限，且 $|z| = 5$ ，则 $a =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、-4

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11、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, B = \{1, 2\}, C = \{0, 2\}$ ，则 $(A \cap B) \cup C =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{0, 2\}$ D、 $\{0\}$

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12、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左顶点为 $A (- 3, 0)$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，直线 $l$ 与E交于M，N两点.

(1)、求E的方程；

(2)、若直线l过坐标原点，且在直线 $x - y - 2 \sqrt{6} = 0$ 上存在点P，使得 $△ P M N$ 为等边三角形，求直线l的方程；

(3)、若直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - \frac{2}{9}$ ，求 $|M N|$ 的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，若直线 $l$ 过原点且与曲线 $y = f (x)$ 相切，求 $l$ 的方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上恰有2个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
①求 $a$ 的取值范围；
②求证： $x_{1} + x_{2} > 4$ .

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14、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A P C$ ， $△ A B C$ 都是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $B P = \frac{\sqrt{2}}{2} A C$ ， Q为 $A B$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $P Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $b cos C - (2 a - c) cos B = 0$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、 $D$ 为边 $A C$ 上一点，且 $A D = 2 D C$ ，若 $B D = 2$ ，求 $2 a + c$ 的最大值.

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16、某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，得到如下列联表：

喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生

40

女生
30

合计

(1)、请将上面的列联表补充完整；

(2)、并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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17、设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0), O$ 为坐标原点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的右支相交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $∠ A O B$ 恒为锐角，则 $C$ 的离心率的取值范围为.

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18、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = a_{n} + 1$ ，在数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n + 2$ （ $n \in N^{*}$ ）项中任取两项都是正数的概率记为 $P_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P_{2} = \frac{1}{6}$ B、 $P_{2 n - 1} < P_{2 n}$ C、 $P_{2 n} < P_{2 n + 2}$ D、 $P_{2 n - 1} + P_{2 n} < P_{2 n + 1} + P_{2 n + 2}$

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19、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点 $A (1, 3)$ ， P为C上的动点，则（）

A、满足 $|P A| = |P F|$ 的点P恰有两个 B、 $|P A| + |P F|$ 的最小值为3 C、 $|P A| - |P F|$ 的最小值为 $- 2$ D、 $|P A| - |P F|$ 的最大值为3

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20、设函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{2} + 8, g (x) = sin x, h (x) = a x$ ，若对于任意的 $x \in (0, + \infty), g (x) \leq h (x) \leq f (x)$ 都成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, \frac{17}{2}]$ B、 $[1, 6]$ C、 $[\frac{1}{2}, 6]$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{17}{2}]$

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$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

	喜欢足球	不喜欢足球	合计
男生		40
女生	30
合计