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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 1 = 0\}$ ，则下列式子表示正确的是（）

A、 $1 \in A$ B、 $\{- 1\} \in A$ C、 $0 \in A$ D、 $\{1, - 1\} \subseteq A$

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2、已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (m + 3) x + 2 m + 2 \leq 0 (m \in R)$ 的整数解恰有4个，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, - 2] \cup [4, 5]$ B、 $[- 3, - 2] \cup [4, 5)$ C、 $(- 3, - 2] \cup [4, 5)$ D、 $[- 3, - 2] \cup [4, 5]$

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3、若 $1 \in \{0, a, a^{2}\}$ }，则 $a$ 的值为（）

A、1或－1 B、0 C、－1 D、2

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4、不等式 $(x - 1) (x - 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 $\{x |- 2 < x < - 1\}$ C、 $\{x |x > 2 或 x < 1\}$ D、 $\{x |x \leq - 1\}$

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5、如图，在△ $A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A B = 2 B C = 6$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，过点 $E$ 作 $D E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ P D E$ ，得到四棱锥 $P - B C D E$ ， $F$ 为棱 $P B$ 上一动点（不包含端点）.

(1)、若 $F$ 为棱 $P B$ 的中点，证明： $C F //$ 平面 $P D E$ ；

(2)、若 $P B = 3 \sqrt{2}$ ，直线EF与平面BCDE所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .
（ⅰ）求 $\frac{B F}{B P}$ ；
（ⅱ）求点 $F$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{6} sin \frac{ω x}{2} cos \frac{ω x}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} cos ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 的值以及函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{5 π}{24}$ 个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x) + sin 2 x$ 在 $[0, π]$ 上的最小值.

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7、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $sin \frac{A + C}{2} = sin (π - B)$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $sin C = \frac{3}{2} sin A$ ，点 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为3，求 $△ A B C$ 的面积．

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8、已知函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ ，若 $f (x)$ 的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数 $m$ 的取值范围为.

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9、已知点 $P (a, b)$ 与点 $Q (b + 1, a - 1)$ 关于直线 $l$ 对称，则直线 $l$ 的方程是.

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10、如图，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，半圆面 $A P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $P$ 为半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上的动点（不与点 $A, D$ 重合），下列说法正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B D$ 的四个面都是直角三角形，且体积最大值为 $\frac{2}{3}$ B、点 $P$ 运动时，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球半径为定值 C、当 $∠ P A D = 60 °$ 时，异面直线 $P A$ 与 $B D$ 的夹角为 $45 °$ D、半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 上存在唯一的点 $P$ ，使得直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$

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11、某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的 $2000$ 名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（）

A、考生参赛成绩的平均分约为 $72.5$ 分 B、考生参赛成绩的第 $75$ 百分位数约为 $81.5$ 分 C、分数在区间 $[50, 60)$ 内的频率为 $0.15$ D、用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 $200$ 的样本，则成绩在区间 $[70, 80)$ 应抽取 $30$ 人

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12、已知实数 $x, y$ 满足 $x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ ，则 $\frac{y - 2}{x + 1}$ 的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{3}, \sqrt{3}]$ B、 $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, + \infty)$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$

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13、已知定点 $P (- 2, 0)$ 和直线 $l : (1 + λ) x + (1 - λ) y - (6 + 2 λ) = 0 (λ \in R)$ ，则点P到直线l的距离d的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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14、函数 $f (x) = \frac{x \cdot sin x}{cos x + 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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15、若复数 $z$ 的共轭复数满足 $\bar{z} = 1 + i$ ，则 $\frac{2 + 4 i}{z} =$ （）

A、 $- 1 + 3 i$ B、 $3 + 3 i$ C、 $3 + i$ D、 $- 1 + i$

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16、已知 $a \in [0, 8]$ ，函数 $f (x) = \frac{4 x - a}{x^{2} + 1}, x \in R$ .

(1)、若函数的值域为 $[- 4, 1]$ ，求 $a$ ；

(2)、当 $x > 0$ 时，求证： $f (x) \leq \frac{a}{2} x + 2 - a$ ；

(3)、当 $x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0, x_{1} + x_{2} = 2$ 时，求证： $\frac{8 - 6 a}{5} \leq f (x_{1}) + f (x_{2}) \leq 4 - a$ .

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17、已知函数 $f (x) = x^{2} + m x + n (m, n \in R)$ .

(1)、若 $1 \leq f (1) \leq 2$ ， $3 \leq f (2) \leq 4$ ，求 $f (3)$ 的取值范围；

(2)、记方程 $f (x) = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ 、 $x_{2} \in (- 3, 3)$ ，
（i）求 $f (- 2)$ 的取值范围；
（ii）求 $m^{2} - 5 n$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = 2^{x} + m \cdot 2^{- x}, m \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，
（i）求 $m$ 的值；
（ii）当 $x \in [0, 4]$ 时，不等式 $f (x^{2} - a x + 2) + f (|x^{2} - 1|) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $m < 0$ ，求 $g (x) = |f (x)|$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最大值 $p (m)$ .

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19、已知全集为 $R$ ，集合 $A = \{x ∣ 1 < 2^{x} < 4\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $C = {x ∣ t + 1 < x < 2 - t}$ ，且 $A \cup C = A$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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20、（1）求值： ${(3 \frac{3}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {0.01}^{- \frac{1}{2}} - 5 \cdot {(\sqrt{5} - 2)}^{- 1} - \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{4}}$ ；
（2）若 $a + a^{- 1} = 3$ ，求 $\frac{a^{3} + a^{- 3}}{a^{- 2} + a^{2} + 1}$ ．

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