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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B E$ ， $B C / / A D$ ， $△ C A E$ 是以 $C E$ 为斜边的等腰直角三角形．

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(2)、若 $A E = 5$ ， $A B = 4$ ，且直线 $D E$ 与平面 $A B E$ 所成的角为 $45 °$ ，求直线 $B D$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值．

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2、将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个 $3 \times 3$ 的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足 $a_{11} < a_{12} < a_{13}$ ，第三行数字满足 $a_{31} < a_{32} < a_{33}$ ，第三列数字满足 $a_{13} < a_{23} < a_{33}$ ，则符合要求的填数方法共有种．（用数字作答）
$a_{11}$
$a_{12}$
$a_{13}$
$a_{21}$
$a_{22}$
$a_{23}$
$a_{31}$
$a_{32}$
$a_{33}$

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3、若直线 $y = k x$ 是曲线 $y = \frac{1}{2} e^{2 x}$ 的一条切线，则 $k =$ ．

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4、 $|2 - 3 i| =$ ．

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5、已知 $Q$ ， $R$ 是双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 上两个不同的点， $P$ 是 $C$ 的左顶点，则（）

A、 $C$ 的焦距为 $2 \sqrt{2}$ B、当 $Q R ⊥ x$ 轴时， $P Q$ 与 $P R$ 可能垂直 C、当 $|P Q| = |P R| = 3$ 时， $Q$ ， $R$ 的横坐标之和的取值集合为 $\{- 1 - \sqrt{19}, - 1, - 1 + \sqrt{19}\}$ D、当 $Q$ ， $R$ 的纵坐标异号时，对任意的点 $Q$ ，都存在点 $R$ ，使得 $∠ P Q R = 120 °$

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6、（多选题）定义：当 $x_{1} \neq x_{2}$ 且 $f (x_{1}) f (x_{2}) > 0$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 恒成立，则称 $f (x)$ 是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ B、 $f (x) = \tan x$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ D、 $f (x) = \lg (2^{x} - 1)$

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7、已知函数 $f (x) = A cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 后，再将所得图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、 $φ = \frac{π}{10}$ B、 $g (x) = 3 cos (2 x - \frac{2 π}{5})$ C、 $f (x)$ 图象的对称轴方程为 $x = - \frac{π}{10} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ D、 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{3 π}{10} + k π, \frac{π}{5} + k π] (k \in Z)$

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8、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \frac{3}{4} A_{1} B_{1} = 3 \sqrt{2}$ ，且 $A A_{1} = \sqrt{2}$ ，记能将正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 罩住的半球的最小半径为 $R_{1}$ ，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的半径为 $R_{2}$ ，则 $\frac{R_{2}}{R_{1}} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}} + 1}{x + 2}$ 的值域是 $[a, b]$ ，则 $b - a =$ （）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、2

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $a^{2} + b^{2} = 4$ ，且 $a^{2} + b^{2} = c^{2} + a b$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = - 4$ ，则（）

A、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} + 2$ B、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} + 4$ C、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} - 2$ D、 ${|\vec{A B}|}^{2} = {|\vec{A D}|}^{2} - 4$

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12、若 $tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) = \frac{3}{2}$ ，则 $tan α =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{12}$

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13、现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第 $80$ 百分位数与中位数分别是（）

A、4，6 B、5，4 C、6，4 D、6，5

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14、设不等式 $x^{2} + 3 x \leq 10$ 的解集为 $M$ ，则（）

A、 $\sqrt{3} \in M$ B、 $- 6 \in M$ C、 $1 \notin M$ D、 $\sqrt{6} \in M$

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15、“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 $\frac{2 π}{3}$ .已知点P为 $△ A B C$ 的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b \cos C + \sqrt{3} b \sin C = a + c$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $b^{2} = {(a - c)}^{2} + 6$ ，求 $P A \cdot P B + P B \cdot P C + P A \cdot P C$ 的值；

(3)、若 $A C ⊥ B C$ ， $P A + P B = λ P C$ ，求实数 $λ$ 的最小值.

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + \cos^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = \frac{1}{2} + m$ 在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3}]$ 上有相异两解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
①求实数m的取值范围；
②当 $t = x_{1} + x_{2}$ 时，函数 $g (t) = a \sin t + b \cos t (a b \neq 0)$ 取最大值，设 $\cos θ = \frac{b}{a}$ ，求 $\cos 3 θ$ .

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17、如图，在平面四边形ABCD中， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = ∠ D A C$ ， $C D = 5$ ， $A B = 2$ .

(1)、求线段AC的长度；

(2)、求 $\sin ∠ A D C$ 的值.

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18、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, 2)$ .

(1)、若 $|\vec{c}| = 5$ ，且 $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $|\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量（用坐标表示）.

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19、已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos (α + β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，其中 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、求 $\tan 2 α$ ；

(2)、求 $β$ .

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20、在非钝角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是 $△ A B C$ 的重心且 $4 - \cos 2 A = 3 \sqrt{3} \sin (B + C)$ ，则角 $A =$ ；若 $b = 4$ ， $A P = \frac{2 \sqrt{7}}{3}$ ，则 $c =$ .

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$a_{11}$	$a_{12}$	$a_{13}$
$a_{21}$	$a_{22}$	$a_{23}$
$a_{31}$	$a_{32}$	$a_{33}$