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相关试卷

1、如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (x, y)$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转角 $θ$ 至点 $P^{'} (x^{'}, y)$ .

(1)、试证明点的旋转坐标公式： $\{\begin{array}{l} x^{'} = x cos θ - y sin θ, \\ y^{'} = x sin θ + y cos θ \end{array}$ ；

(2)、设 $θ \in (0, 2 π)$ ，点 $P_{0} (0, - 1)$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转角 $θ$ 至点 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 再绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转角 $θ$ 至点 $P_{2}$ ，且直线 $P_{1} P_{2}$ 的斜率 $k = - 1$ ，求角 $θ$ 的值；

(3)、试证明方程为 $x^{2} + \sqrt{3} x y = 6$ 的曲线 $C$ 是双曲线，并求其焦点坐标.

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2、已知双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ ，过右焦点 $F (2, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点. 点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $E$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程：

(2)、求证：直线 $A E$ 恒过定点，并求出定点的坐标；

(3)、当 $k \geq 2$ 时，求 $△ A E F$ 面积的最大值.

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3、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为菱形， $∠ B B_{1} C = 60^{\circ}, A B_{1} = 3$ .

(1)、求证： $B_{1} C_{1} ⊥ B_{1} A$ ；

(2)、若 $P$ 为侧棱 $B B_{1}$ 上（包含端点）一动点，求直线 $P C_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值的取值范围.

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4、已知点 $P$ 、 $Q$ 的坐标分别为 $(- 2, 0)$ 、 $(2, 0)$ 直线 $P M$ 、 $Q M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4} .$

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $A B$ 与点 $M$ 的轨迹交于 $A B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ ，其中点 $O$ 是坐标原点. 试判断点 $O$ 到直线 $A B$ 的距离是否为定值. 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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5、如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1.

(1)、求四面体ABCD 的体积；

(2)、求平面ABC与平面ABD所成角的正切值.

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6、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 、 $B$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点和上顶点，连接 $B F_{1}$ 并延长交椭圆 $C$ 于点 $P$ ，若 $△ P F_{2} B$ 为等腰三角形，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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7、已知直线 $l_{1} : a x - y - 2024 = 0, l_{2} : (3 a - 2) x + a y + 2025 a = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为.

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8、如图.三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 是 $A C$ 上一点， $A M = \frac{1}{2} M C, C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C, ∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = B C = C C_{1} = 2, A_{1} B_{1} = 1$ ，则（）

A、 $A B_{1}$ $∥$ 平面 $B M C_{1}$ B、平面 $B M C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ C、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{7}{3}$ D、若点 $P$ 在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 上运动（含边界），且 $C P$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值为4，则BP长度的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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9、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4, P$ 是直线 $l : x + y - 6 = 0$ 上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（）

A、圆C上恰有1个点到直线l的距离为 $3 \sqrt{2} - 2$ B、|PA|的最小值是 $\sqrt{14}$ C、|AB|存在最大值 D、|AB|的最小值是 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$

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10、在三棱锥P-ABC中， $P A = P B = B C = 6, A C = 6 \sqrt{2}, A B ⊥ B C$ ，平面PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（）

A、96π B、84π C、72π D、48π

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11、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 和侧面 $A_{1} A D D_{1}$ 都是正方形， $∠ B A A_{1} = \frac{2 π}{3}, A B = 2$ ，点 $P$ 是 $C_{1} D$ 与 $C D_{1}$ 的交点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A B_{1}} =$ （）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、2 C、4 D、6

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则 $C$ 渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{5}}{5} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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13、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (0, - 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）过点 $P (2, 1)$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同两点 $B$ 、 $C$ .求证：直线 $A B$ 和 $A C$ 的斜率之和为定值.

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14、某同学在研究函数 $f (x) = \frac{3 x}{|x| + 1} (x \in R)$ 时，给出下列结论：① $f (- x) + f (x) = 0$ 对任意 $x \in R$ 成立；②函数 $f (x)$ 的值域是 $(- 3, 3)$ ；③若 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则一定有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ；④函数 $g (x) = f (x) - 3 x^{2}$ 在 $R$ 上有2个零点．则正确结论的序号是．

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15、记 $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ， $B = 60 °$ ， $a^{2} + c^{2} = 3 a c$ ，则 $b =$ .

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16、民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿也深受广大旅游爱好者的喜爱.对于民宿的改造，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为240平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的3倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为平方米.

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{- 4}, x \in (- \infty, 0) \\ \log_{\frac{1}{4}} x, x \in (0, 1) \\ - x^{2} + 4 x - 3, x \in [1, + \infty) \end{cases}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有两个零点，则实数m不可能是（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、0

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁的直线l₁与过F₂的直线l₂交于点M，设M的坐标为(x₀ ， y₀)，若l₁⊥l₂ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\frac{x_{0}^{2}}{4} + \frac{y_{0}^{2}}{3} < 1$ B、 $\frac{x_{0}^{2}}{4} + \frac{y_{0}^{2}}{3} > 1$ C、 $4 x_{0}^{2} + 3 y_{0}^{2} < 1$ D、 $4 x_{0}^{2} + 3 y_{0}^{2} > 1$

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19、若函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x} + 2, x \leq 1 \\ \log_{2} (x - 1), x > 1 \end{matrix}$ 在 $(- \infty, a]$ 上的最大值为4，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 17]$ B、 $(- \infty, 17]$ C、 $[1, 17]$ D、 $[1, + \infty)$

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20、如图，在离地面高 $400 m$ 的热气球上，观测到山顶 $C$ 处的仰角为 $15^{\circ}$ ，山脚 $A$ 处的俯角为 $45^{\circ}$ ，已知 $∠ B A C = 60^{\circ}$ ，则山的高度 $B C$ 为（）

A、 $700 m$ B、 $640 m$ C、 $600 m$ D、 $560 m$

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