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相关试卷

1、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，称 $\{Δ a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ .对正整数 $k (k \geq 2)$ ，称 $\{Δ^{k} a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的 $k$ 阶差分数列，其中 $Δ^{k} a_{n} = Δ (Δ^{k - 1} a_{n}) = Δ^{k - 1} a_{n + 1} - Δ^{k - 1} a_{n}$ 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且 $\{Δ a_{n + 1} - a_{n} - 2^{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的二阶差分数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{2} (n^{2} - n + 2), \{x_{n}\}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的一阶差分数列，对 $\forall n \in N^{*}$ ，是否都有 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} C_{n}^{i} = a_{n}$ 成立？并说明理由；（其中 $C_{n}^{i}$ 为组合数）

(3)、对于（2）中的数列 $\{x_{n}\}$ ，令 $y_{n} = \frac{t^{x_{n}} + t^{- x_{n}}}{2}$ ，其中 $\frac{1}{2} < t < 2$ .证明： $\sum_{i = 1}^{n} y_{i} < 2^{n} - 2^{- \frac{n}{2}}$ .

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $M (2, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .不过原点的直线 $l : y = k x + m$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，记直线 $M A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $M B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、证明：直线 $l$ 的斜率 $k$ 为定值；

(3)、求 $△ M A B$ 面积的最大值.

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3、某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：
表1：
序号
数学
物理
1
144
95
2
130
90
3
124
79
4
120
85
5
110
69
6
107
82
7
103
80
8
102
62
9
100
67
10
98
75
11
98
68
12
95
77
13
94
59
14
92
65
15
90
57
16
88
58
17
85
70
18
85
55
19
80
52
20
75
54

(1)、数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.
（i）完成如下列联表；
数学成绩
物理成绩
合计
优秀
不优秀
优秀

不优秀

合计

（ii）依据 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？

(2)、从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：
表2：
数学成绩
130
110
100
85
75
物理成绩
90
69
67
70
54
如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.
（i）求样本相关系数 $r$ ；
（ii）建立物理成绩 $y$ 关于数学成绩 $x$ 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）
参考公式：（1）样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} .$ .
（2）经验回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ；. $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} .$
（3） $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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4、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2, M$ 为 $B B_{1}$ 中点，点 $N$ 在棱 $A_{1} B_{1}$ 上， $A_{1} N = 2 N B_{1}$ .

(1)、证明： $M C$ $∥$ 平面 $N A C_{1}$ ；

(2)、求锐二面角 $M - A C_{1} - N$ 的余弦值.

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5、春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为.

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6、已知直线 $l : y = k x - 2 k - 1$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 5$ 相切，则 $k =$ .

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7、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线的左､右焦点，过 $F_{1}$ 的直线交双曲线左､右两支于 $A, B$ 两点，若 $△ A B F_{2}$ 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{2}}$ D、 $\sqrt{5 - 2 \sqrt{2}}$

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8、若集合 $A \cap B = B \cup C$ ，则一定有（）

A、 $C \subseteq B$ B、 $B \subseteq C$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \subseteq B$

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9、已知 $a = e^{0.1} - 1, b = \frac{2}{21}, c = ln 1.1$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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10、如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为 $S_{1} ､ S_{2} ､ S_{3}$ ，则它们的大小关系为（）

A、 $S_{1} < S_{2} < S_{3}$ B、 $S_{3} < S_{2} < S_{1}$ C、 $S_{3} < S_{1} < S_{2}$ D、 $S_{2} < S_{3} < S_{1}$

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11、过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点的直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，已知 $|A B| = 18$ ，线段 $A B$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $M (11, 0)$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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12、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ ，如图 $A, B$ 是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与曲线 $y = f (x)$ 的两个交点， $|A B| = \frac{π}{6}, f (\frac{13 π}{24}) = - 1$ ，则 $f (\frac{5 π}{6}) =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、 $△ A B C$ 的内角 $A ､ B ､ C$ 所对的边分别为 $a ､ b ､ c, a = \sqrt{3}, b = 1, A = 2 B$ ，则 $c =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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14、已知两个向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}| = 1$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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15、已知直线 $m$ $∥$ 平面 $α$ ，直线 $n ⊥$ 平面 $β$ ，则“ $m$ $∥$ $n$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、在复平面内， $2 \bar{z} + z i = 3 + 3 i$ ，其中 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则复数 $z$ 的对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 2$ ，点 $M$ 为边 $B C$ 的中点，点 $N$ 在边 $C D$ 上．

(1)、若点 $N$ 为线段 $C D$ 上靠近 $D$ 的三等分点，求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的值；

(2)、求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的取值范围．

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18、如图，点 $P$ 是棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的一个动点，直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为．

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19、如图，设 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，当 $∠ x O y = θ$ 时，定义平面坐标系 $x O y$ 为 $θ$ 的斜坐标系．在 $θ$ 的斜坐标系中，任意一点 $P$ 的斜坐标这样定义：设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是分别与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向相同的单位向量，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记 $\vec{O P} = (x, y)$ ．下列结论正确的是（）

A、设 $\vec{a} = (m, n)$ ， $\vec{b} = (s, t)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m n + s t = 0$ B、设 $\vec{a} = (m, n)$ ， $\vec{b} = (s, t)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m t - n s = 0$ C、设 $\vec{a} = (m, n)$ ，则 $|\vec{a}| = \sqrt{m^{2} + n^{2}}$ D、设 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $θ = \frac{π}{3}$

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为正方形 $A B C D$ 的中心，当点 $M$ 在线段 $B_{1} D_{1}$ （不包含端点）上运动时，下列直线中一定与直线 $O M$ 异面的是（）

A、 $B_{1} C_{1}$ B、 $A_{1} B$ C、 $C D_{1}$ D、 $A_{1} A$

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表1：
序号	数学	物理
1	144	95
2	130	90
3	124	79
4	120	85
5	110	69
6	107	82
7	103	80
8	102	62
9	100	67
10	98	75
11	98	68
12	95	77
13	94	59
14	92	65
15	90	57
16	88	58
17	85	70
18	85	55
19	80	52
20	75	54

数学成绩	物理成绩		合计
数学成绩	优秀	不优秀	合计
优秀
不优秀
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828