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相关试卷

1、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为实数，且满足 $a < b$ ，那么下列选项中一定成立的是（）

A、 $a c < b c$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a - c < b - c$

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2、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} - 3 \leq 0\}, B = {1, 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1, 2]$ B、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ C、 $[0, 1]$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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3、如图，矩形 $A B C D$ 所在的平面垂直于平面 $A E B$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $∠ A E B ＝ 90 °$ ， $∠ E A B = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 3$ .
（1）求异面直线 $O C$ 与 $D E$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $A - D E - C$ 的正弦值.

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4、已知圆 $E$ 经过点 $A (0, 0), B (1, 1)$ ，且圆 $E$ 与 $y$ 轴相切．

(1)、求圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是圆 $E$ 上的动点，点 $C$ 的坐标为 $(3, 2)$ ，求线段CP的中点 $M$ 的轨迹方程．

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5、直线 $x + y - 1 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 截得的弦长为．

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6、某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（）

A、 $a = 0.008$ B、约有200人的成绩不低于110分 C、约有60人的成绩低于70分 D、本次考试的平均分约为93.6分

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7、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $M = \{0, 1, 2\}$ ， $N = \{2, 3\}$ ，则 $(∁_{U} M) \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3, 4\}$ B、 $\{3\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

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8、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} (2 a - 1) x - 1, x < 1 \\ - x - 4 a, x \geq 1 \end{matrix}$ 是定义在 $R$ 上的单调函数，则a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{3}]$ C、 $(\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{2})$

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9、已知幂函数 $f (x) = (p^{2} - 3 p + 3) x^{p^{2} - \frac{3}{2} p - \frac{1}{2}}$ 满足 $f (2) < f (4)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $h (x) = n - f (x + 3)$ ，是否存在实数 $a$ ， $b$ （ $a < b$ ），使函数 $h (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ？若存在，求出实数 $n$ 的取值范围，若不存在，请说明理由．

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10、某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： $y = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5050 x, 120 \leq x < 150 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000, 150 \leq x < 500 \end{array}$ ，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴.

(1)、当 $x \in [200, 300]$ 时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损?

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?

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11、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的偶函数，且 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、求 $f (0)$ ， $f (- 1)$ ；

(2)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(3)、判断并证明函数在区间 $[0, 1]$ 上的单调性.

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (1) = 3$ ，对任意两个不等的实数 $a$ ， $b$ 都有 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 1$ ，则不等式 $f (x^{2} - x - 1) < x^{2} - x + 1$ 的解集为．

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13、已知集合 $A= \{(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 3, x \in Z, y \in Z\}$ ，则集合A真子集个数为（填数字）

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14、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）．

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ B、 $f (x) = |x|$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{|x|}{x}, x \neq 0 \\ 1, x = 0 \end{array}$ 与 $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{2 x - 1}$ 与 $g (t) = {(\frac{1}{3})}^{2 t - 1}$

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + 1$ 在区间 $(- \infty, 1]$ 上递减，且当 $x \in [0, t + 1]$ 时，有 $f {(x)}_{\max} - f {(x)}_{\min} \leq 2$ ，则实数t的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $[1, \sqrt{2}]$ C、 $[2, 3]$ D、 $[1, 2]$

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16、历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数： $f (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \in Q \\ 0, x \in Q_{c} \end{array}$ (其中 $Q$ 为有理数集， $Q_{c}$ 为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念､性质､结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： $D (x) = \{\begin{array}{l} a, x \in Q \\ b, x \in Q_{c} \end{array}$ (其中 $a, b \in R$ ，且 $a \neq b$ )，以下对 $D (x)$ 说法错误的是（）

A、定义域为 $R$ B、当 $a > b$ 时， $D (x)$ 的值域为 $[b, a]$ ；当 $a < b$ 时， $D (x)$ 的值域为 $[a, b]$ C、 $D (x)$ 为偶函数 D、 $D (x)$ 在实数集的任何区间上都不具有单调性

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17、若 $x, y$ 均大于零，且 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $9$ D、 $\frac{9}{2}$

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18、若函数 $f (x) = \{\begin{cases} (2 - 3 a) x + 1, x \leq 1 \\ \frac{1}{x} - 1, x > 1 \end{cases}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, + \infty)$ B、 $(\frac{2}{3}, + \infty)$ C、 $(\frac{2}{3}, 1]$ D、 $[\frac{2}{3}, 1]$

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19、下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（）．

A、对于实数 $a, b ∈R$ ，有 $a^{2} + b^{2} −2 a −2 b +2<0$ B、幂函数的图象过定点 $(1,1)$ 和点 $(0,0)$ C、存在幂函数的图象过点 $(2,4)$ D、当 $n <0$ 时，幂函数 $y = x^{n}$ 在第一象限内函数值随 $x$ 值的增大而减小

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20、函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的对应关系如下表．
$x$
$- 1$
0
1

$x$
1
2
3
$f (x)$
1
3
2

$g (x)$
0
$- 1$
1
则 $g (f (- 1))$ 的值为（）

A、0 B、3 C、1 D、 $- 1$

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$x$	$- 1$	0	1		$x$	1	2	3
$f (x)$	1	3	2		$g (x)$	0	$- 1$	1