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相关试卷

1、已知 $n$ 元有限集 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}\} (n \geq 2, n \in Z)$ ，若 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = a_{1} \times a_{2} \times a_{3} \times \dots \times a_{n}$ ，则称集合 $A$ 为“ $n$ 元和谐集”.

(1)、写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)；

(2)、若正数集 $A = \{a_{1}, a_{2}\}$ 是“二元和谐集”，试证明：元素 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 中至少有一个大于2；

(3)、是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = (2 {log}_{4} x - 2) ({log}_{4} x + a), a \in R$ .

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > - \frac{1}{2} - a$ 的解集；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，若 $f (x) < m {log}_{4} x$ 对于 $x \in [4, 16]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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3、如图，在周长为8的矩形 $A B C D$ 中（其中 $A B > A D$ ），现将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 折叠到 $△ A B^{'} C$ ，设 $A B^{'}$ 与 $C D$ 交于点 $E$ ，设 $A B = x$ ， $B^{'} E = y$ .

(1)、求 $△ B^{'} E C$ 的周长；

(2)、试用 $x$ 表示 $y$ ，并求 $x$ 的取值范围；

(3)、当 $x$ 为何值时， $△ B^{'} E C$ 的面积 $S$ 取得最大值，并求出该最大值.

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4、写出一个同时具有下列性质①②的函数 $f (x)$ ：．
① $(x - y) (f (x) - f (y)) > 0$ ；② $f (x + y) = 2 f (x) f (y)$

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5、函数 $f (x) = \sqrt{3 - x} + {log}_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ 的定义域是.

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6、下列函数中是偶函数，且在区间 $(0, 1)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{8} - 2$ B、 $y = \frac{x}{2}$ C、 $y = |x| + \frac{1}{|x|}$ D、 $y = \frac{x^{2}}{|x|}$

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7、正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则下列选项不一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq 9$ B、 $2^{x} + 2^{y} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $(x + \frac{1}{x}) (y + \frac{1}{y}) \geq \frac{25}{4}$ D、 $\frac{3 y}{x} + \frac{1}{x y} \geq 9$

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8、已知关于 $x$ 的不等式 $m x > n$ 的解集是 ${x| x < 3}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $(m x + n) (x - 2) > 0$ 的解集是（）

A、{ $x| x < - 3$ 或 $x > 2$ } B、 ${x ∣ - 3 < x < 2}$ C、{ $x| x < 2$ 或 $x > 3$ } D、 ${x ∣ 2 < x < 3}$

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9、已知 $f (3 x) = 4 x \cdot {log}_{2} x$ ，那么 $f (\frac{3}{2})$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、4 C、 $8 ({log}_{2} 3 - 1)$ D、 $- \sqrt{2}$

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10、已知命题 $p$ ：“ $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \geq 0$ ”，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \notin R, x^{2} - x + 1 < 0$ B、 $\exists x \notin R, x^{2} - x + 1 \geq 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ， $a_{n} = {(- 1)}^{n} + 2^{n}$ ， $b_{n} = a_{n + 1} - λ a_{n} (λ > 0)$ ，且 $\{b_{n}\}$ 为等比数列.

(1)、求 $λ$ 的值；

(2)、记数列 $\{b_{n} \cdot n^{2}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .若 $T_{i} \cdot T_{i + 2} = 15 T_{i + 1} (i \in N^{*})$ ，求 $i$ 的值.

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12、如图，在四棱锥 $B － A C D E$ 中，正方形 $A C D E$ 所在平面与正 $△ A B C$ 所在平面垂直， $M ， N$ 分别为 $B C ， A E$ 的中点， $F$ 在棱 $C D$ 上．
(1)证明： $M N / /$ 平面 $B D E$ ．
(2)已知 $A B = 2$ ，点 $M$ 到 $A F$ 的距离为 $\frac{\sqrt{30}}{5}$ ，求三棱锥 $C － A F M$ 的体积．

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13、如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 $m / s$ ，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务.

(1)、求B、C两处垃圾之间的距离；（精确到0.1m）

(2)、求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值.

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2 - λ, λ)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是．

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15、已知函数 $f (x) = \sin (4 x + \frac{π}{3}) + \cos (4 x - \frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、f（x）的最大值为2 B、f（x）在 $[- \frac{π}{8}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、f（x）在 $[0, π]$ 上有4个零点 D、把f（x）的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的图象关于直线 $x = - \frac{π}{8}$ 对称

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16、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与斜率为 $32 p$ 的直线恰有一个公共点 $P$ ，则点 $P$ 的纵坐标为（）

A、 $\frac{1}{64}$ B、 $\frac{1}{32}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{8}$

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17、如图， $A B$ 是圆的直径， $P A$ 垂直于圆所在的平面， $C$ 是圆上一点（不同于 $A$ ， $B$ ）且 $P A = A C$ ，则二面角 $P - B C - A$ 的大小为（）

A、15° B、30° C、45° D、60°

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18、已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ ，且每场比赛的胜负均相互独立.

(1)、当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；

(2)、若主办方在决赛的前两场中共投资 $m$ （千万元），则能在这两场比赛中共盈利 $\frac{m}{2}$ （千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资 $n$ （千万元），则能在该场比赛中盈利 $\sqrt{n}$ （千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？

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19、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{n} = 1 - a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ ；

(2)、记 $T_{n} = S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + \dots + S_{n}^{2}$ ，求 $T_{n}$ ．

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20、在 ${(3 - x)}^{n}$ 的展开式中，若 $x^{2}$ 的系数为 $a_{n} (n \geq 2)$ ，则 $\frac{3^{2}}{a_{2}} + \frac{3^{3}}{a_{3}} + \dots + \frac{3^{n}}{a_{n}} =$ ．

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