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相关试卷

1、在平面直角坐标系中，若角 $θ$ 的终边经过点 $P (- \sin \frac{π}{6}, \cos \frac{π}{3})$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、已知动点 $P$ 到点 $(0, 1)$ 的距离比它到直线 $y + 2 = 0$ 的距离小 $1$ ，记动点 $P$ 的轨迹为 $E$ ．

(1)、求轨迹 $E$ 的方程．

(2)、直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 分别与轨迹 $E$ 交于点 $A, B$ 和点 $C, D$ （ $\vec{A B}$ 与 $\vec{D C}$ 同向），且 $l_{1} / / l_{2}$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $H$ ，线段 $A B$ 与 $C D$ 的中点分别为 $M, N$ ．
（ⅰ）求证： $M, H, N$ 三点共线；
（ⅱ）若 $|H M| = 1$ ， $|H N| = 2$ ，求四边形ABCD的面积．

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3、如图，在圆柱 $O O_{1}$ 中，四边形ABCD是其轴截面，EF为 $⊙ O_{1}$ 的直径， $E F ⊥ C D$ ， $A B = 2$ ， $B C = a$ ．

(1)、求证： $B E = B F$ ；

(2)、若四面体ABEF的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求二面角 $A - B E - F$ 平面角的余弦值．

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4、为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：
序号i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
成绩 $x_{i}$ （分）
38
41
44
51
54
56
58
64
74
80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ ，经计算 $\sum_{i = 1}^{10} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 1690$ ， $\sum_{i = 1}^{10} x_{i}^{2} = 33050$ ．

(1)、规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；

(2)、经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用 $\bar{x}$ ， $s^{2}$ 的值分别作为 $μ$ ， $σ^{2}$ 的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间 $[30, 82]$ 的人数为Y，求Y的数学期望 $E (Y)$ ．
附：若 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq ξ \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq ξ \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq ξ \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $(b + c) (\sin B - \sin C) = (a - c) \sin A$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2$ ，且满足 $\sin A + \sin C = 2 \sin B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{| x + 1 |}, x \leq 0 \\ |\ln x|, x > 0 \end{array}$ .若函数 $g (x) = 4 {[f (x)]}^{2} - (4 t + 3) f (x) + 3 t$ 有七个不同的零点，则实数 $t$ 的取值范围是.

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7、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，点M在C上，则 $|M F_{1}| \cdot |M F_{2}|$ 的最大值为．

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8、设函数 $f (x) = \cos (3 x + φ) - \sqrt{3} \sin (3 x + φ)$ ， $x \in R$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $\tan φ =$ ．

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9、已知四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $B C ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $O$ 为四面体 $A B C D$ 外接球的球心，则下列说法中正确的是（）

A、若 $A B ⊥ C D$ ，则 $A B ⊥$ 平面 $B C D$ B、若 $A B = C D = 1$ ，则 $A D$ 的取值范围是 $(2, 2 \sqrt{2})$ C、若 $A B + C D = 2$ ，则 $\vec{C O} \cdot (\vec{C D} - \vec{B A})$ 的取值范围是 $(- 2, 2)$ D、若 $A B = C D = 2$ ，直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为 $\frac{28}{3} π$

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10、随机事件A、B满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{A} | B) = \frac{1}{2}$ ，下列说法正确的是（）

A、事件 $\bar{A}$ 与事件B相互独立 B、 $P (\bar{A} \cup B) = \frac{1}{6}$ C、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ D、 $P (\bar{B}) = P (\bar{A} B)$

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11、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (0) = 2$ ，且对任意 $x \in R$ ，满足： $f (x + 1) - f (x) \leq 2^{x}$ ， $f (x + 2) - f (x) \geq 3 \times 2^{x}$ ，则 $f (2025)$ 的值为（）

A、 $2^{2025} + 2$ B、 $2^{2025} + 1$ C、 $2^{2025}$ D、 $2^{2025} + 3$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n {(\frac{9}{10})}^{n}, \{a_{n}\}$ 的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（）

A、 $a_{8}$ B、 $a_{9}$ C、 $a_{11}$ D、 $a_{12}$

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13、设F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点， $α$ ， $β$ 分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足 $β = 5 α$ ，已知点F到其中一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，则双曲线C的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、4

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14、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、0 D、 $- \frac{3}{2}$

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15、已知 $a > 1$ ，函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{4} x^{3}, x \leq 2 \\ \log_{a} x, x > 2 \end{cases}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(1, \sqrt{2}]$ C、 $(1, \sqrt{2})$ D、 $[\sqrt{2}, + \infty)$

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16、已知集合 $A = {y | y = \sin x + \cos x}, B = {x | y = \sqrt{a - x^{2}}}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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17、实数a，b满足 $(a + b i) (2 - i) = 5$ ，则 $a + b =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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18、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前n项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} = \sqrt{S_{n}} + \sqrt{S_{n - 1}} (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式 $4 T_{n} < a^{2} - a$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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19、在① $S_{3} = 9, S_{5} = 20$ ；②公差为 $2$ ，且 $S_{1}, S_{2}, S_{4}$ 成等比数列；③ $S_{n} = 3 n^{2} + 8 n$ ；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列，其前项和为 $S_{n}$ ， ______.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = [\log_{2} a_{n}]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求 $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{20}$ 的值.

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20、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前项n和为 $S_{n}$ ，若对于任意的正整数n都有 $S_{n} = 2 a_{n} - 3 n$ .
（1）设 $b_{n} = a_{n} + 3$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，并求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．
（2）求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前n项和.

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序号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
成绩 $x_{i}$ （分）	38	41	44	51	54	56	58	64	74	80