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相关试卷

1、居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI），是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况（同比 $= \frac{本期数 - 去年同期数}{去年同期数} \times 100 %$ ，环比 $= \frac{本期数 - 上期数}{上期数} \times 100 %$ ），下列结论正确的是（）

A、2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格 B、2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格 C、2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格 D、2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格

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2、已知集合 $A = {x | x^{3} < 1}, B = {x | 2^{x} > \frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $A \cap B = {x | x < - 1}$ B、 $A \cap B = {x | - 1 < x < 1}$ C、 $A \cup B = {x | x < - 1}$ D、 $A \cup B = {x | x < 1}$

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3、若 $(1 - i) z = i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

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4、由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆 $C_{1}$ 的“特征三角形”为 $△_{1}$ ，椭圆 $C_{2}$ 的“特征三角形”为 $△_{2}$ ，若 $△_{1} ∽ △_{2}$ ，则称椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ “相似”，并将 $△_{1}$ 与 $△_{2}$ 的相似比称为椭圆 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的相似比.已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相似.

(1)、求椭圆 $C_{2}$ 的离心率；

(2)、若椭圆 $C_{1}$ 与椭圆 $C_{2}$ 的相似比为 $λ (λ > 0)$ ，当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，求椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的方程；

(3)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，设椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右顶点为 $B$ ，且椭圆 $C_{2}$ 过点 $A$ 作两条斜率为 $k_{1}, k_{2}$ 的直线分别交椭圆 $C_{2}$ 于 $M, N$ （异于 $A, B$ ）两点，设 $M, N$ 在 $x$ 轴的上方，过点 $B$ 作直线 $A N$ 的平行线交椭圆 $C_{2}$ 于点 $N_{1}$ ，若直线 $M N_{1}$ 过椭圆 $C_{2}$ 的左焦点 $F$ ，求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，公差 $d \neq 0, a_{2} = 2$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列；数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in N^{*}, 2^{k} - 1 < b_{k} < 2^{k} + 1$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，猜想数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式并证明；

(2)、求数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $c_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n} \cdot a_{n + 1} \cdot b_{n + 1}}$ ，数列 $\{c_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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6、已知函数 $f (x) = ln x - 2 k x, x \in (0, e]$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、若 $x = 1$ 为 $f (x)$ 的极值点，求 $f (x)$ 的单调区间和最大值；

(2)、是否存在实数 $k$ ，使得 $f (x)$ 的最大值为 $- 3$ ？若存在，求出 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

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7、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A C = B C, A C ⊥ B C$ ，点 $D, E$ 分别在棱 $A A_{1}$ 和棱 $C C_{1}$ 上，且 $M$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $C_{1} M ⊥ B_{1} D$ ；

(2)、若 $A B = 4, C C_{1} = 6, A D = 2, C E = 4$ ，求二面角 $B - B_{1} E - D$ 的正弦值.

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8、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l$ ： $2 a x + y + 4 a = 0$ .

(1)、当 $a$ 为何值时，直线 $l$ 与圆 $C$ 相切；

(2)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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9、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 中，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{2 n}{a_{n}})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为.

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10、已知直线 $l_{1}$ 的方向向量 ${\vec{s}}_{1} = (1, 0, 1)$ 与直线 $l_{2}$ 的方向向量 ${\vec{s}}_{2} = (- 1, 2, - 2)$ ，则 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 夹角的余弦值为.

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11、 ${(2 x - \sqrt{x})}^{4}$ 的二项展开式中 $x^{3}$ 的系数为.

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12、设函数 $f (x) = {(x - 2)}^{2} (x - 5)$ ，则（）

A、 $x = 4$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) \leq f (x^{2})$ C、当 $\frac{3}{2} < x < 3$ 时， $- 4 \leq f (2 x - 1) < 0$ D、当 $0 < x < 2$ 时， $f (4 - x) > f (x)$

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13、平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 $1675$ 年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $M (- 3, 0), N (3, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P M| \cdot |P N| = 10$ ，其轨迹为一条连续的封闭曲线 $C$ .则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0, - 1), (0, 1)$ B、曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称 C、直线 $y = 1$ 与曲线 $C$ 有两个公共点 D、直线 $y = 1$ 与曲线 $C$ 有三个公共点

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14、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，则（）

A、直线 $B C_{1}$ 与面 $A D_{1} C$ 平行 B、直线 $B C_{1}$ 与 $A C$ 所成的角为 $90^{\circ}$ C、直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ D、直线 $B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C D$ 垂直

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15、中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，其中 $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'}$ 是桁， $D D_{1}, C C_{1}, B B_{1}, A A_{1}$ 是脊， $O D_{1}, D C_{1}, C B_{1}, B A_{1}$ 是相等的步，相邻桁的脊步之比分别为 $\frac{D D_{1}}{O D_{1}} = 0.5, \frac{C C_{1}}{D C_{1}} = k_{1}, \frac{B B_{1}}{C B_{1}} = k_{2}, \frac{A A_{1}}{B A_{1}} = k_{3}$ ，已知 $k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 成公差为0.2的等差数列，且直线 $O A$ 的斜率为0.725，则 $k_{3} =$ （）

A、0.6 B、0.8 C、1 D、1.2

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16、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，前七项之和为30，最后七项之和为110，前 $n$ 项之和是230，则项数 $n$ 为（）

A、21 B、22 C、23 D、24

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17、有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有（）

A、72种 B、144种 C、108种 D、288种

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18、设 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{33} = 1$ 上一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线的左，右焦点，若 $|P F_{1}| = 10$ ，则 $|P F_{2}|$ 等于（）

A、2 B、18 C、2或18 D、以上均不对

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19、曲线 $y = cos x + sin x$ 在 $(π, - 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y + π - 1 = 0$ B、 $x - y - π + 1 = 0$ C、 $x + y + π - 1 = 0$ D、 $x + y - π + 1 = 0$

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20、下列说法中，与“直线 $a$ $∥$ 平面 $α$ ”等价的是（）

A、直线 $a$ 与平面 $α$ 内的任意一条直线都不相交 B、直线 $a$ 与平面 $α$ 内的两条直线平行 C、直线 $a$ 与平面 $α$ 内无数条直线不相交 D、直线 $a$ 上有两个点不在平面 $α$ 内

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