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相关试卷

1、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $C C_{1} = 2 A C$ .若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积是 $10 π$ ，则此三棱柱的体积的最大值是.

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2、 ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式的常数项是(用数字作答)．

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3、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的渐近线与圆 $C : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为 $E$ 的左、右焦点，动点 $P$ 在 $E$ 的左支上，则（）

A、 $a = 2$ B、 $△ C F_{1} F_{2}$ 为直角三角形 C、 $△ C F_{2} P$ 周长的最小值为 $4 \sqrt{2} + 2$ D、 $|C P|$ 的最小值为2

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4、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{3} + a_{4} = 4 (a_{1} + a_{2})$ ，且 $a_{3} = \frac{4}{3}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $a_{4} = \frac{8}{3}$ C、 $\frac{1020}{3}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 D、 $a_{3}$ ， $a_{2} + a_{3}$ ， $a_{4}$ 成等差数列

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5、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $A$ 为 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与 $x$ 轴的交点.若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $|P A| =$ （）

A、 $\frac{24}{7}$ B、 $\frac{24 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{32}{7}$ D、 $\frac{32 \sqrt{2}}{7}$

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6、某新能源汽车公司生产的电池容量 $X ~ N (50, σ^{2})$ （单位：千瓦时），且 $P (47 \leq X \leq 53) = 0.8$ ．若质检部门随机抽检 $4$ 块电池，则恰好有 $2$ 块电池的容量在 $53$ 千瓦时以上的概率为（）

A、 $0.0081$ B、 $0.0162$ C、 $0.0486$ D、 $0.0972$

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7、2024年汤姆斯杯暨尤伯杯羽毛球团体锦标赛于4月27日在四川成都开赛．为保证锦标赛顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天，丙和丁各去一天，则不同的安排方法有（）

A、140种 B、210种 C、420种 D、840种

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8、圆 $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ 与 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{14}$ D、4

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9、设 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 3, a_{2} + a_{3} + a_{4} = 9$ ，则 $a_{6} + a_{7} =$ （）

A、16 B、18 C、20 D、22

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10、若直线 $x + a y - 1 = 0$ 的倾斜角的大小为 $\frac{π}{6}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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11、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, - x)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、-6 B、5 C、4 D、6

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12、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为 $N$ ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数 $N$ 为（）

A、744 B、620 C、372 D、162

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13、在国务院新闻办公室举行的“推动高质量发展”系列主题新闻发布会上，教育部相关负责人表示，要在关键环节方面，让“健康第一”落细落地．实施学生体质强健计划、心理健康促进行动等，保障中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，全面培育学生积极心理品质．要让孩子们动起来、互动起来，多见阳光，多呼吸新鲜空气．

(1)、为了解喜爱排球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到 $2 \times 2$ 列联表如下：
喜爱排球运动
不喜爱排球运动
合计
男性
60
40
100
女性
45
55
100
合计
105
95
200
依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为喜爱排球运动与性别有关？

(2)、某校排球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，甲等可能地随机传向另外3人中的1人，乙也等可能地随机传向另外3人中的1人，丙、丁均等可能地随机传向甲、乙中的1人，第1次由甲将球传出，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记第n次传球之后球在丙或丁手上的概率为 $a_{n}$ ．
（ⅰ）计算 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（ⅱ）记第n次传球之后球在乙手上的概率为 $b_{n}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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14、设a为实数，函数 $f (x) = x^{2} \ln x - a x + 1$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 过点 $(a, \ln a)$ ，求a的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(3)、若 $f (x)$ 恰有两个极值点，求a的取值范围．

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15、已知 $M (1, y_{0})$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点， $M$ 到抛物线 $C$ 的焦点的距离为 $2$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : x = m y + t (t > 0)$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 1$ （点 $O$ 为坐标原点），求 $△ A O B$ 面积的最小值．

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为菱形， $P C = P D = 2 \sqrt{2}$ ， $P B ⊥ C D$ ．

(1)、证明： $B C = B D$ ；

(2)、若 $P A = 4 \sqrt{2}$ ， $P B = 4$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值．

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17、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $(b - a) \sin A = (b + c) (\sin B - \sin C)$ ．

(1)、求C；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径为1，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18、已知集合 $A, B \subseteq {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，则满足 $A \subseteq B$ 的有序集组 $(A, B)$ 的个数为．（用数字作答）

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19、点M在椭圆 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{24} = 1$ 上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，O为坐标原点， $| O N | = 4$ ，则 $∣ O M | =$ ．

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20、函数 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln x$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线的斜率为．

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	喜爱排球运动	不喜爱排球运动	合计
男性	60	40	100
女性	45	55	100
合计	105	95	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828