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相关试卷

1、已知 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、 $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2}}$ 的最小值是 $\frac{1}{2}$ B、 $| 3 x + 4 y - 12 |$ 的最小值是 $\frac{2}{5}$ C、 $\sqrt{5 - 2 x} + \sqrt{13 - 6 y}$ 的最小值是 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{13 - 6 y} - \sqrt{20 - 8 x}$ 的最大值是 $2 \sqrt{10}$

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2、下列说法正确的有（）

A、 $69, 63, 65, 55, 71, 73, 77, 78, 83, 82$ 这组数据的第 $80$ 百分位数是 $80$ B、若一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差为 $\frac{1}{2}$ ，则 $2 x_{1}$ ， $2 x_{2}$ ， …， $2 x_{n}$ 的方差为1 C、若变量 $X$ 服从二项分布 $B (4, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = 2$ D、若变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (100, σ^{2})$ ， $P (100 < ξ \leq 113) = 0.3$ ，则 $P (ξ < 87) = 0.2$

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3、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{x y}{b^{2}} = - 1$ 无公共点，则曲线 $C_{1}$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2}]$ B、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ C、 $(1, \sqrt{3}]$ D、 $[\sqrt{3}, + \infty)$

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4、已知函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{2})$ 在 $[- m, m]$ 上有且仅有2个零点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ B、 $[\frac{π}{2}, π)$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4})$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = (x + 1) (x - a)$ ．若 $\forall x, y \in R$ ， $f (x + | y |) \geq$ $f (x - | y |)$ ，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $[0, + \infty)$

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6、某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为 $2 π$ ，则该圆锥的高为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $π$

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7、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为d，若 $a_{2} + a_{10} = 6$ ， $a_{6} a_{8} = 15$ ，则 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、已知 $\cos θ = - \frac{3}{5}$ ， $θ \in (0, π)$ ，则 $\tan \frac{θ}{2} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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9、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (4, x)$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ 是 $x = 2$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、复数 $z = - 2 i (- 2 + i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 4$ D、4

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11、浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取 $n$ 次.每次都有 $\frac{1}{2}$ 的概率抽中， $\frac{1}{2}$ 的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算：
1.将玩家 $n$ 次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1，未抽中记作0，形成一个长度为 $n$ 的仅有01的序列.
2.定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1，设它长度为 $t$ ，那么得分即为 $t^{2}$ .
3.序列的得分即为每一段连续的1的得分和.
例如：如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中奖，那么序列即为1，0，1，1，1，0，1，得分为 $1^{2} + 3^{2} + 1^{2} = 11$ .可能用到的公式：若 $X, Y$ 为两个随机变量，则 $E (X) + E (Y) = E (X + Y)$ .

(1)、若 $n = 3$ ，清照进行了一次游戏.记随机变量 $X$ 为清照的最终得分，求 $E (X)$ .

(2)、记随机变量 $Z$ 表示长度为 $n$ 的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度，求 $E (Z)$ .

(3)、若 $n = k$ ，清照进行了一次游戏.记随机变量 $A$ 为清照的最终得分，求 $E (A)$ .

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12、已知函数 $f (x) = ln \frac{2 x - 1}{x - 1} + a x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $y = f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若 $0 < a \leq \frac{1}{3}$ ， $x \in [\frac{3}{2}, 2]$ ，证明： $f (x) < 2$ ；

(3)、若 $x > 1$ ，恒有 $f (x) \geq 2 ln 2 + \frac{3}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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13、已知点 $A (0, - \sqrt{3}), B (0, \sqrt{3})$ ，曲线 $E$ 上的点 $M$ 与 $A, B$ 两点的连线的斜率分别为 $k_{A M}$ 和 $k_{B M}$ ，且 $k_{A M} \cdot k_{B M} = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、是否存在一条直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，以 $P Q$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ．若存在，求出 $\frac{1}{{|O P|}^{2}} + \frac{1}{{|O Q|}^{2}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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14、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x - \sqrt{3} \sin^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{8}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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15、如图，已知 $B C = 3$ ， $D, E$ 为 $△ A B C$ 边 $B C$ 上的两点，且满足 $∠ B A D = ∠ C A E, \frac{B D \cdot B E}{C D \cdot C E} = \frac{1}{9}$ ，则当 $∠ A C B$ 取最大值时， $△ A B C$ 的面积等于.

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16、若 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + a x$ 在 $[- 1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为．

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17、已知随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，若 $P (3 \leq X \leq 5) = 0.3$ ，则 $P (X \leq 1) =$ ．

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18、已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_{1} > 0$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、若 $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ ，则 $q = \pm 1$ B、若 $a_{2} = ln a_{1} + ln a_{3}$ ，则 $q < 0$ C、若 $2 a_{3} = e^{a_{1}} + e^{a_{2}}$ ，则 $q > 1$ D、若 $0 < a_{1} < 1$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = ln (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4})$ ，则 $q > 1$

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19、如图抛物线 $Γ_{1}$ 的顶点为 $A$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l_{1}$ ，焦准距为 $2$ ；抛物线 $Γ_{2}$ 的顶点为 $B$ ，焦点也为 $F$ ，准线为 $l_{2}$ ，焦准距为 $3$ ． $Γ_{1}$ 和 $Γ_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点，分别过 $P, Q$ 作直线与两准线垂直，垂足分别为 $M, N, S, T$ ，过 $F$ 的直线与封闭曲线 $A P B Q$ 交于 $C, D$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $|A B| = 5$ B、四边形 $M N S T$ 的面积为 $20 \sqrt{6}$ C、 $\vec{F S} \cdot \vec{F T} = 0$ D、 $|C D|$ 的取值范围为 $[\frac{5}{2}, \frac{25}{6}]$

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20、已知 $a > e, b > e$ ，且 $a (1 + ln b) = (1 + e b) ln a$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $ln a - ln b < 1$ B、 $a e < b$ C、 $a b < e^{3}$ D、 $2^{ln a} + 2^{ln b} > 6$

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