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相关试卷

1、如图所示，矩形ABCD中，AB=4，点E为AB中点，若 $\vec{D E}$ ⊥ $\vec{A C}$ ，则| $\vec{D E}$ |=　(　　)

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{2}$

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2、蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口 $A B C D E F$ ，下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A C} - \vec{A E} = \vec{B F}$ B、 $\vec{A C} + \vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{A D} \cdot \vec{A B} = \vec{A D} \cdot \vec{D E}$ D、 $\vec{A D} = 2 (\vec{A B} + \vec{A F})$

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3、下列四种变换方式，其中能将 $y = sin x$ 的图象变为 $y = sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象的是（）
①向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ；
②向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，再将横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ；
③横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度；
④横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度；

A、①和③ B、①和④ C、②和③ D、②和④

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4、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = - 2 \vec{a} + 8 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{a} - 3 \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{a} + 5 \vec{b}$ ，则（）

A、B，C，D三点共线 B、A，B，C三点共线 C、A，C，D三点共线 D、A，B，D三点共线

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5、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (m \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$

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6、 $\sin 15 °$ =（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}$

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7、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C_{1}$ ， $A B$ 的中点，点 $G$ 在 $D C$ 的延长线上，且 $C G = \frac{1}{2} C D$ ．

(1)、证明： $E G ⊥$ 平面 $B C_{1} D$ ；

(2)、求平面 $B C_{1} D$ 与平面 $D E F$ 的夹角的正切值．

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8、甲､乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且每局的胜负相互独立，

(1)、求该比赛三局定胜负的概率；

(2)、在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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9、提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有种.

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b = 4 a, A + C = \frac{5 π}{6}$ ，则 $sin A =$ ，

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11、下列命题为真命题的是（）

A、 $\sqrt{x^{2} - 4 x - 8 \sqrt{- x} + 4} + |x - 1|$ 的最小值是2 B、 $\sqrt{x^{2} - 4 x - 8 \sqrt{- x} + 4} + |x - 1|$ 的最小值是 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{x^{2} - 4 x - 8 \sqrt{- x} + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x - 4 \sqrt{- x} + 2}$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{x^{2} - 4 x - 8 \sqrt{- x} + 4} + \sqrt{x^{2} - 2 x - 4 \sqrt{- x} + 2}$ 的最小值是 $\sqrt{3}$

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12、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, ∠ A B D = 60^{\circ}, P B, P C$ 与底面 $A B C D$ 所成的角分别为 $α, β$ ，且 $α + β = 45^{\circ}$ ，则 $\frac{P A}{A B} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{17} - 2}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{15} - 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15} - 2}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17} - 3}{2}$

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13、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $D (5, 0), B (2, A), B C ⊥ C D$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{10}$

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, P$ 是 $C$ 上任意一点， $O$ 为坐标原点， $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $d$ ，则（）

A、 $4 | O P |^{2} - d^{2}$ 为定值 B、 $3 | O P |^{2} - d^{2}$ 为定值 C、 $| O P |^{2} + 4 d^{2}$ 为定值 D、 $| O P |^{2} + 3 d^{2}$ 为定值

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15、已知直线 $y = x + 1$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点，则 $△ M O N$ 的面积为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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16、如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设上、下底面的半径分别为 $a$ 厘米， $b$ 厘米，高为 $c$ 厘米），则该青铜器的容积约为（取 $π = 3$ ）（）

A、 $c (a^{2} + a c + b^{2})$ 立方厘米 B、 $c (a^{2} - a c + b^{2})$ 立方厘米 C、 $c (a^{2} - a b + b^{2})$ 立方厘米 D、 $c (a^{2} + a b + b^{2})$ 立方厘米

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17、若向量 $\vec{a} = (- 1, 5)$ ， $\vec{b} = (x, x + 1)$ ， $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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18、在平面直角坐标系中，锐角 $α$ 、 $β$ 的终边分别与单位圆交于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、如果 $A$ 点的纵坐标为 $\frac{5}{13}$ ， $B$ 点的横坐标为 $\frac{3}{5}$ ，求 $\cos (a + β)$ 的值；

(2)、若角 $a + β$ 的终边与单位圆交于 $C$ 点，经点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别作 $x$ 轴垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ 、 $P$ ．求证：线段 $M A$ 、 $N B$ 、 $P C$ 能构成一个三角形；

(3)、探究第（2）小题中的三角形的外接圆面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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19、已知向量 $\overset{⃑}{a} = 3 \overset{⃑}{e_{1}} - 2 \overset{⃑}{e_{2}}$ ， $\overset{⃑}{b} = 4 \overset{⃑}{e_{1}} + \overset{⃑}{e_{2}}$ ，其中 $\overset{⃑}{e_{1}} = (1, 0)$ ， $\overset{⃑}{e_{2}} = (0, 1)$ ．

(1)、求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ ， $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ ；

(2)、求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角的余弦值．

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20、南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在 $△ A B C$ 中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若 $b = 3$ ，且 $\frac{1 - \sqrt{3} \cos B}{\sqrt{3} \sin B} = \frac{\cos C}{\sin C}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值是.

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