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相关试卷

1、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：（1） $\forall x, y \in R$ ， $f (x + y) = \frac{f (x) + f (y)}{1 + f (x) f (y)}$ ；（2） $\forall x > 0$ ， $f (x) > 0$ ；（3）不存在 $x \in R$ ，使得 $f (x) = 1$ .

(1)、证明： $\forall x \in R$ ， $f (x) = \frac{2 f (\frac{x}{2})}{1 + f^{2} (\frac{x}{2})}$ ，并借此证明： $\forall x \in R$ ， $f (x) < 1$ .

(2)、研究 $f (x)$ 的单调性和奇偶性.

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2、2025年8月8日至12日，由中国电子学会、世界机器人合作组织共同主办的2025世界机器人大会在北京经济技术开发区北人亦创国际会展中心举行.这一大会的召开，标志着机器人时代正加速到来.现如今，机器人产业正处于规模化、产业化前夜.某科技企业为抓住“机器人时代”带来的机遇，决定开发生产一大型电子设备，该设备分为 $A, B$ 两种型号，两种型号均能满足需求.目前研发设备已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产 $A$ 型该设备的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.5亿元：生产 $B$ 型该设备的毛收入 $y$ (亿元)与投入的资金 $x$ (亿元)的函数关系为 $y = k x^{a} (x > 0)$ ，其图象如图所示.

(1)、试分别求出生产 $A, B$ 两种型号设备的毛收入 $y$ (亿元)与投入资金 $x$ (亿元)的函数关系式：

(2)、现在公司准备投入20亿元资金同时生产 $A, B$ 两种型号，设投入 $x$ 亿元生产 $A$ 型号，用 $f (x)$ 表示公司所获净利润，当 $x$ 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润. (净利润= $A$ 型毛收入+B型毛收入 $-$ 研发耗费资金)

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3、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 3 x + b < 0$ 的解集为 $\{x |1 < x < 2\}$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值并求解不等式 $\frac{a x + 1}{b x - 4} \geq 0$ 的解集；

(2)、当 $x > 0, y > 0$ 且满足 $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ 时，有 $2 x + y \geq k^{2} + 4$ 恒成立，求k的取值范围．

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4、已知幂函数 $f (x)$ 与一次函数 $g (x)$ 的图象都经过点 $(4, 2)$ ，且 $f (9) = g (5)$ .

(1)、求 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的解析式：

(2)、求函数 $h (x) = g (x) - f (x)$ 在 $[0, 4]$ 上的值域.

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5、已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合， $P (1, 2)$ 为角α终边上一点，

(1)、求tanα；

(2)、求 $\frac{\sin (π - α) + 5 \cos (2 π - α)}{2 \sin (\frac{3}{2} π - α) + \cos (\frac{π}{2} + α)}$ 的值；

(3)、求 $\sin^{2} α + 2 \sin α \cos α - \cos^{2} α$ 的值.

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6、在 $[- π, π]$ 上，使不等式 $2 \cos x \geq \sqrt{3}$ 成立的 $x$ 的集合为.

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7、设正实数 $x, y$ 满足 $x + 2 y = 4$ ，则以下说法正确的有（）

A、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为 $\frac{16}{5}$ B、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ C、 $x + y$ 的最大值为4 D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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8、下列不等关系正确的为（）

A、 ${0.3}^{- 3.2} > {0.3}^{- 2.3}$ B、 ${2.3}^{- 0.3} > {3.2}^{- 0.3}$ C、 ${0.3}^{2.3} > {2.3}^{0.3}$ D、 ${0.32}^{0.23} > {0.23}^{0.32}$

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9、下列说法正确的有（）

A、命题“若 $x > 2$ ，则 $x^{2} > 4$ ”是真命题 B、命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 3 = 0$ ”是真命题 C、“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的充分不必要条件 D、设 $a, b \in R$ ，则“ $a > 4$ 且 $b > 4$ ”是“ $a + b > 8$ ”的充要条件

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10、在 $△ A B C$ 中， $\cos (\frac{π}{2} - 2 A) = \sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形

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11、已知幂函数 $f (x) = x^{m} (m \neq 0)$ .若 $f (x)$ 的图象在 $x \in (0, 1)$ 时位于直线 $y = x$ 的上方，实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (0, 1)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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12、函数 $f (x) = 2 \ln x + 4 x - 12$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(2, e)$ D、 $(e,3)$

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13、如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（）

A、 $\{α | - 45 ° \leq α < 120 °\}$ B、 $\{α | 120 ° < α \leq 315 °\}$ C、 $\{α | - 45 ° + k \cdot 360 ° \leq α < 120 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ D、 $\{α | 120 ° + k \cdot 360 ° < α \leq 315 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$

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14、已知半径为 3 的扇形面积 $\frac{9}{2}$ ，则扇形的圆心角为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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15、设集合 $A = \{x | \frac{x}{x - 1} > 0\}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2]$ C、 ${0} \cup (1, 2]$ D、 $(0, 2]$

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16、快到2026年元旦假期了， $2026^{\circ}$ 是（）角

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq k (x - 1) - \frac{1}{2} (a \leq 0)$ ，求 $a$ 与 $k$ 的数量关系；

(3)、设 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 是 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $f (x_{1}) - f (x_{2}) < \frac{1}{2}$ .

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18、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l : x = 8$ 与 $C$ 在第一象限交于点 $A$ ， $| A F | = 10$ .

(1)、求p的值.

(2)、设点B，D，E均在第一象限，且点B直线l上，点D，E在C上.
①是否存在点B，D，使得四边形FBAD是以FB，FD为邻边的平行四边形？若存在，求出平行四边形FBAD的面积；若不存在，请说明理由.
②是否存在点B，D，E，使得四边形FBED是以FB，FD为邻边的矩形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = A B = 2 \sqrt{3}$ ， $C D = C B = 2$ ， $P A = P D$ ， $∠ A D C = ∠ A P D = 90 °$ ， $F$ 是 $A P$ 的中点．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ．

(2)、证明： $B F //$ 平面 $P C D$ ．

(3)、求直线 $B F$ 与直线 $P C$ 所成角的余弦值．

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20、对联，又称对偶、对子、楹联等，是以两组形式相对、内容相关的语句为表现形式的应用性文学样式，具有上下联字数相等、平仄相对、对仗工整等文学特点.从甲、乙、丙、丁4副不同的对联（上联和下联共8联）中随机取出4联（上联或下联）.

(1)、求这4联可以凑成甲对联的概率；

(2)、记这4联可以凑成X副对联，求X的数学期望

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