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相关试卷

1、已知正数 $x, y$ 满足 $x + y + x y = 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y$ 的最大值为1 B、 $x + y$ 的最小值为4 C、 $\frac{3 - x - y}{x^{2} + y^{2}}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1}$ 的最小值为1

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 2)$ ，对任意 $x, y \in (- 2, 2)$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x + y)$ ，且当 $x \in$ $(0, 2)$ 时， $f (x) > 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、若 $f (- 1) = - 2$ ， $f (x) \leq t^{2} + a t - 1$ 对任意的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 2, 2]$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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3、如图， $△ O A B$ 是边长为2的正三角形，记 $△ O A B$ 位于直线 $x = t (0 \leq t \leq 2)$ 左侧的图形的面积为 $f (t)$ .

(1)、试求函数 $y = f (t)$ 的解析式；

(2)、有同学发现，函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，试用此法证明：问题(1)中函数 $y = f (t)$ 的图象关于点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 成中心对称图形.

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4、设函数 $f (x) = 2^{x} + k \cdot 2^{- x}$

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 为偶函数，证明： $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 单调递增；

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5、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 的图象过点 $(0, - 1)$ 和 $(3, 6)$ ，求 $f (x)$ 在 $R$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a}{3}$ ，求 $a$ 的值.

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6、求下列各式的值：

(1)、已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{a + a^{- 1} + 2}{a^{2} + a^{- 2} - 2}$ 的值；

(2)、 ${(lg 2)}^{2} + lg 2 \cdot lg 50 + lg 25$ ；

(3)、若 $lg 2 = a$ ， $3^{b} = 10$ ，用 $a$ ， $b$ 表示 ${log}_{12} 45$ .

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7、已知函数 $f (x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为 $A$ ，集合 $B = {x | 1 - a < x < 1 + a}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分条件，求a的取值范围.

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8、若“ $\forall x \in [0, 2]$ ， $2^{x - 1} + 2^{- x} - m < 0$ ”为假命题，则 $m$ 的取值范围为.

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9、若幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m + 1}$ 是偶函数， $m =$ .

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10、已知函数 $y = \frac{1}{2^{x}}$ ， $x \in [2, 4]$ ，则此函数的值域为

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11、若函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数， $g (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ （其中e为常数， $e \approx 2.718$ ）.函数 $F (x) = f (2 x) - 2 m f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值为 $- 3$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ B、 $g (x)$ 是增函数 C、 $m = 2$ D、 $m = \pm 2$

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12、下列说法正确的是（）

A、函数 $y = x + \sqrt{x - 1}$ 的值域为 $[1, + \infty)$ B、若 $p : \exists n \in N$ ， $n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg p : \forall n \in N$ ， $n^{2} \leq 2^{n}$ C、函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1 (a > 0 且 a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $(1, 1)$ D、已知函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则 $f (x)$ 的定义域为 $[- 3, 1]$

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13、设 $a = \log_{6} 3$ ， $b = \log_{6} 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a + b = 1$ B、 $\log_{3} 2 = \frac{b}{a}$ C、 $\log_{6} \frac{1}{9} = - 2 a$ D、 $\log_{6} 24 = 1 - 2 b$

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14、已知函数 $y = f (x)$ 在R上是奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则不等式 $x [f (x) - 2 f (- x)] < 0$ 的解集是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (- 1, 1) \cup (3, + \infty)$

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15、若直线 $y = 3 a$ 与函数 $y = |a^{x} - 1|$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{3} < a < 1$ B、 $a > 1$ C、 $0 < a < \frac{1}{3}$ D、 $0 < a \leq \frac{1}{3}$

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16、下列函数中，既是奇函数，又在区间 $(0, + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{3} + x$ C、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ D、 $y = \frac{3 x - 2}{x + 1}$

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17、若 $a = \log_{3} 3^{- 1}$ ， $b = 2^{1.1}$ ， $c = {0.8}^{3.1}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $a < c < b$

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18、函数 $f (x) = a^{x} - \frac{1}{a} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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19、设集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |3 - 2 x \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{2, 3\}$

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20、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与半椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1 (x \leq 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = \sqrt{3}$ ，点 $P$ 是半椭圆 $C_{2}$ 上一动点.

(1)、求抛物线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作抛物线 $C_{1}$ 的两条切线，切点分别为 $C, D$ ，记 $C D$ 的中点为 $E$ .
（i）证明 $P E ⊥ y$ 轴；
（ii）求 $△ P C D$ 面积的取值范围.

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