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相关试卷

1、甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；

(2)、如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望；

(3)、如果每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙获胜的概率为 $q (q = 1 - p)$ ，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论．

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2、如图，在四棱锥 $P － A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D ⊥ A B ， ∠ B C D = 45 ° ，$ $A D = 1 ，$ $B C = \sqrt{2}$ ， $P D ⊥ A D$ .现设 $P D = t ， C D = 4 － t ， 0 ＜ t ＜ 3$ .

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当 $t = 1$ 时，侧棱PC上点M满足 $B M = \sqrt{2}$ ， $∠ A B M = 45 ° .$ 证明：M是侧棱 $P C$ 的中点；

(3)、当 $∠ P D C = 120 °$ 时，求三棱锥 $P － B C D$ 的外接球体积的最小值.

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3、已知向量 $\vec{m} = (\sin (\frac{π}{4} + x), \sqrt{3} \sin x)$ ， $\vec{n} = (\sin (\frac{π}{4} - x), \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、化简 $f (x)$ 并写出 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ， $A C = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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4、2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是 $\frac{9}{32}$ ，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是 $\frac{19}{24}$ .各家庭回答是否正确相互独立.

(1)、求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；

(2)、求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.

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5、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A C ⊥ B C$ ， $B C = C C_{1}$ ，设 $A B_{1}$ 的中点为D， $B C_{1}$ 的中点为E.求证：

(1)、 $D E / /$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ .

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6、已知复数 $z = m - i$ （ $m \in R$ ），且 $\bar{z} \cdot (1 + 3 i)$ 为纯虚数（ $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数）.

(1)、设复数 $z_{1} = \frac{m + 2 i}{1 - i}$ ，求 $|z_{1}|$ ；

(2)、复数 $z_{2} = \frac{a - i^{2025}}{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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7、已知 $| \vec{A B} | = 6$ ，平面上动点 $P$ 满足 $|\vec{A P} - t \vec{A B}| \geq 4$ 对任意 $t \in R$ 恒成立，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最小值为，此时 $| \vec{P A} + \vec{P B} | =$ .

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8、已知60个样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{59}, x_{60}$ 的平均数为3，其中 $\sum_{i = 1}^{60} x_{i}^{2} = 1260$ ，则这60个数据的方差为.

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9、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则该棱台的体积．

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10、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ， …， $x_{n}$ 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ ， $d_{1}$ ，数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， …， $y_{n}$ 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ ， $d_{2}$ ，且满足 $y_{i} = 2 x_{i} - 1 (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} = 2 a_{1} - 1$ B、 $b_{2} = b_{1}$ C、 $c_{2} = 4 c_{1}$ D、 $d_{2} = 2 d_{1} - 1$

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11、正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（）

A、事件 $B$ 与 $C$ 互斥 B、 $P (A + B) = \frac{3}{4}$ C、事件 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $P (\bar{A B}) = \frac{3}{4}$

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12、 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $2 b \cos \frac{A}{2} = a \cos (\frac{A}{2} - B)$ ，若 $λ \cos A - \cos (C - B)$ 存在最小值，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- 4, 4)$ D、 $(- 4, 2)$

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13、如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 的中点，则过点B作与异面直线 $B_{1} C$ 与 $E F$ 所成的角都是 $60 °$ 的直线条数（）

A、有无数条 B、有两条 C、有三条 D、有一条

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14、将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于8的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{12}$

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15、为了解某年级同学的体能情况，抽取100位同学进行一分钟仰卧起坐次数测试，将所得数据整理后，得到如下频率分布直方图（一分钟仰卧起坐次数60次以上的称为体能优秀），则下列结论错误的是（）

A、 $b = 0.005$ B、估计100位同学在一分钟仰卧起坐次数的平均数低于70次 C、从这100位同学中随机选取一位同学，则这位同学体能优秀的概率约为 $\frac{3}{5}$ D、按照“体能优秀”的学生与“体能不优秀”的学生进行分层抽样，从这100位同学中抽取12人，则在体能优秀的同学中应抽取9人

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16、复数 $z$ 在复平面内对应的点满足 $| z - 2 | = 1$ ，则以下选项中的点在复数 $z$ 所构成图形上的是（）

A、 $(0, 0)$ B、 $(1, 0)$ C、 $(2, 0)$ D、 $(0, 1)$

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17、公园内有一棵树， $A$ ， $B$ 是与树根处 $O$ 点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为 $P$ .如图，观测得 $∠ O A B = 75 °$ ， $∠ O B A = 60 °$ ， $∠ O A P = 60 °$ ， $A B = 10$ 米，则该树的高度 $O P$ 为（）米.

A、 $15$ B、 $15 \sqrt{3}$ C、 $15 \sqrt{2}$ D、 $15 \sqrt{6}$

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18、 $\sin 16^{\circ} \cos 46^{\circ} - \cos 16^{\circ} \sin 46^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、一艘海轮从 $A$ 处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东 $40^{\circ}$ 的方向直线航行，2小时后到达 $B$ 处，在 $C$ 处有一座灯塔，海轮在 $A$ 处观察灯塔，其方向是南偏东 $70^{\circ}$ ，在 $B$ 处观察灯塔．其方向是北偏东 $65^{\circ}$ ，那么 $B, C$ 两点间的距离是（）

A、 $50 \sqrt{2}$ 海里 B、 $50 \sqrt{3}$ 海里 C、 $100 \sqrt{3}$ 海里 D、 $100 \sqrt{2}$ 海里

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20、若直线 $l$ 与函数 $f (x) = e^{x - 2} (x > 1)$ 和 $g (x) = ln x$ 的图象分别相切于点 $A, B$ ，则 $|A B| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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