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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x ln x - m x + 1 (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $\forall x \in (0, + \infty), f (x) \geq 0$ ，求 $m$ 的取值范围；

(3)、证明： $e^{x} + x ln x > 0$ ．

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2、某公司投资某款电动玩具的宣传费 $x$ （单位：十万元）和销量 $y$ （单位：百万件）如表所示：
宣传费 $x$ （十万元）
3
4
5
6
销量 $y$ （百万件）
2.5
3
4
4.5

(1)、已知可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、若甲､乙两人购买这款电动玩具的概率分别为 $p, 3 p - 2 (\frac{2}{3} < p < 1)$ ，且甲､乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求 $p$ 的取值范围.
参考公式：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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3、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 4$ ， $S_{6} = 42$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{2 n - 1} a_{2 n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，

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4、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，如果 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = K$ （ $K$ 为常数），那么这个数列叫做等积数列， $K$ 叫做这个数列的公积.已知 $\{a_{n}\}$ 是等积数列， $a_{3} = 1$ ， $a_{5} = 2$ ，公积为4，则 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2026} =$ .

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5、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，且 $3 E (X) = 5 D (X)$ ，则 $p =$ ．

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6、已知随机事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (\bar{A}) = \frac{3}{5}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $2 P (A + B) = 11 P (A B)$ ，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 相互独立 B、 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{10}$ C、 $P (A |B) = \frac{2}{5}$ D、 $P (B |(A + B)) = \frac{4}{9}$

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7、已知m， $n \in N_{+}$ 且 $m \leq n$ ，则下列等式正确的是（）

A、 $A_{10}^{4} = A_{10}^{6}$ B、 $C_{7}^{3} = \frac{A_{7}^{3}}{3!}$ C、 $(n + 1) A_{n}^{m} = A_{n + 1}^{m + 1}$ D、 $C_{n}^{m} = \frac{m + 1}{n + 1} C_{n + 1}^{m}$

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8、在 ${(x - y)}^{5}$ 的展开式中，下列说法正确的是（　　）

A、一共有5项 B、第3项为 $- 10 x^{3} y^{2}$ C、所有项的系数和为0 D、所有项的二项式系数和为32

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9、甲、乙两球队比赛，设事件 $A =$ “甲队主力球员首发”，事件 $B =$ “甲队获胜”，据统计， $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B ∣ A) = \frac{7}{10}$ ， $P (A ∣ B) = \frac{3}{4}$ ，甲、乙两球队在2026年计划比赛共计12场．设甲队获胜的场数为X，若每场比赛的结果相互独立，则 $E (X) =$ （）

A、 $\frac{21}{5}$ B、 $\frac{112}{15}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{15}{2}$

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10、设函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 9 \ln x$ 在区间 $[a - 1, a + 1]$ 上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A、 $(1, 2]$ B、 $[4, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $(0, 3]$

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11、某企业产品的广告费用与销售量的统计数据如表所示：根据表中各数据可得回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = 9.4$ ，假设该企业广告费用为6万元时，则销售额为（）
广告费用（万元）
4
2
3
5
销售额（万元）
49
26
39
54

A、63，6万元 B、65，5万元 C、67，7 万元 D、72，0万元

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*}) ， a_{1} = 2$ ，则 $a_{2026}$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、-1

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13、已知 $A, B, C, D$ 四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为 $r_{1} = - 0.625, r_{2} = - 0.985$ ， $r_{3} = 0.211, r_{4} = 0.718$ ，则线性相关程度最强的是（）

A、A组 B、B组 C、C组 D、D组

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14、已知相关变量 $x$ 和 $y$ 的散点图如图所示，若用 $y = k x + b$ 与 $y = b a^{x} + c$ 拟合时，决定系数分别为 $R_{1}^{2}$ 和 $R_{2}^{2}$ ，则比较 $R_{1}^{2}$ 和 $R_{2}^{2}$ 的大小结果为（）

A、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$ B、 $R_{1}^{2} = R_{2}^{2}$ C、 $R_{1}^{2} < R_{2}^{2}$ D、不确定

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15、春节某人计划去福建莆田旅游，打算从梅寺晨钟，石室藏烟，紫霄怪石，白塘秋月，湄屿潮音这5个景点中选3个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（）

A、60 B、20 C、12 D、10

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16、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X < 4) = 0.8$ ，则 $P (0 < X < 4) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.5 D、0.6

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17、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a) e^{x}$ 无零点，且有两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2}$ .

(1)、求a的取值范围；

(2)、求 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 的取值范围.

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18、某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是 $\frac{1}{10}, \frac{1}{20}, \frac{1}{15}$ ．

(1)、现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；

(2)、若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．

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19、已知 ${(3 a^{3} + 4 b^{2})}^{n}$ 的展开式中有一项是 $m a^{21} b^{8}$ ．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、求展开式中系数最大的项．

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20、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 1]$ 上的最大值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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宣传费 $x$ （十万元）	3	4	5	6
销量 $y$ （百万件）	2.5	3	4	4.5

广告费用（万元）	4	2	3	5
销售额（万元）	49	26	39	54