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相关试卷

1、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶装满水的体积约为（）

A、0.182升 B、0.205升 C、0.218升 D、0.235升

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2、若复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = (2 + i) (3 - 4 i)$ ，则 $| z | =$

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、5 D、25

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3、记 $y = f^{'} (x)$ ， $y = g^{'} (x)$ 分别为函数 $y = f (x)$ ， $y = g (x)$ 的导函数．若存在 $x_{0} \in R$ ，满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ 且 $f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的一个“好点”．

(1)、判断函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = x^{2} - x + 1$ 是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由；

(2)、若函数 $f (x) = a x^{3} - 1$ 与 $g (x) = \ln x$ 存在“好点”，求实数 $a$ 的值；

(3)、已知函数 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = \frac{b e^{x}}{x}$ ，若存在实数 $a > 0$ ，使函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 内存在“好点”，求实数 $b$ 的取值范围．

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4、在问卷调查中，被采访人有可能出于隐私保护而不愿意如实填写问卷，导致调查数据失真.某校高三级调查学生对饭堂服务满意情况，为保护学生隐私并得到真实数据，采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有五个大小相同的小球，其中2个黑球，3个白球、高三级所有学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，若相同则按方式Ⅱ回答问卷”.
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中答“是”，否则答“否”；
方式Ⅱ：若学生对饭堂服务满意，则在问卷中答“是”，否则答“否”.
当所有学生完成问卷调查后，统计答“是”，答“否”的比例，用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该校高三级学生对饭堂服务满意度的估计值.

(1)、若某班有50名学生，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；

(2)、若该年级的所有调查问卷中，答“是”与答“否”的比例为 $2 : 3$ ，试估计该年级学生对饭堂的满意度.（结果保留3位有效数字）

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5、每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段（单位：岁）
$[15, 25)$
$[25, 35)$
$[35, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 65)$
$[65, 75]$
被调查的人数
10
15
20
$m$
25
5
赞成的人数
6
12
$n$
20
12
2

(1)、从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在 $[35, 45)$ 的概率为 $\frac{1}{5}$ ，求出表格中 $m$ ， $n$ 的值；

(2)、若从年龄在 $[45, 55)$ 的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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6、“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数 $f (x)$ 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，其中 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与x轴交点的横坐标， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当 $|x_{n} - r|$ 足够小时，就可以把 $x_{n}$ 的值作为方程 $f (x) = 0$ 的近似解．若 $f (x) = \frac{1}{15} x^{3} - \frac{3}{5} x^{2} + 2 x - \frac{12}{5}$ ， $x_{0} = 4$ ，则方程 $f (x) = 0$ 的近似解 $x_{1} =$ ．

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7、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设 $a, b, m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被m除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模m同余，记为 $a = b (\mod m)$ .若 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ， $a = b (\mod 8)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、2025 B、2026 C、2017 D、2018

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8、一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为 $X_{1}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{1})$ ， $D (X_{1})$ ；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为 $X_{2}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{2})$ ， $D (X_{2})$ ；则（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) > E (X_{2})$ C、 $D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $D (X_{1}) < D (X_{2})$

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9、设函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在区间 $(a, b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上为“凸函数”．已知 $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{6} m x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ 在 $(1, 3)$ 上为凸函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{31}{9})$ B、 $[\frac{31}{9}, 5]$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $[2, + \infty)$

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - b x - 1$ ，其中 $a, b \in R$ ， e为自然对数的底数.

(1)、若 $a = 0$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $b = 0$ ，对任意 $x_{1}, x_{_{2}} \in [1, 2], x_{1} \neq x {}_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < a (x_{1} + x_{2})$ ，同时 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上存在两个极值点m，n，求 $a$ 的取值范围.

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11、有 $n$ 个编号分别是 $1, 2, \dots, n$ 的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第 $n$ 个罐子中随机取出一颗糖果.设事件 $A_{i}$ 表示从第 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ 个罐子中取出红色糖果，记事件 $A_{i}$ 发生的概率为 $P (A_{i})$ .

(1)、求 $P (A_{1})$ 的值；

(2)、求 $P (A_{2})$ 的值，并证明：当 $n \geq 2$ 时， $5 P (A_{n}) = P (A_{n - 1}) + 2$ ；

(3)、求 $P (A_{n})$ （用含 $n$ 的式子表达）.

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12、在三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b sin A + \sqrt{3} c = \sqrt{3} b cos A$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{6}$ ，设 $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 2$ ，求三角形 $A B C$ 的周长.

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两个不同的点， $\vec{M F} + \vec{N F} = 2 \vec{O F}$ （ $O$ 为坐标原点）， $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} S_{△ M N F} = \frac{1}{2} {|\vec{O F}|}^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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14、已知圆锥的底面半径为6，体积为 $96 π$ ，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为 $84 π$ ，则该圆台的表面积为．

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15、有一散点图如图所示，在5个 $(x, y)$ 数据中去掉 $D (3, 10)$ 后，下列说法错误的是（）

A、残差平方和变小 B、相关系数r变大 C、决定系数 $R^{2}$ 变大 D、解释变量x与响应变量y的相关性变弱

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{3} + 2 x^{2} + \frac{21}{20} x, x \leq 0 \\ \frac{\ln x}{x}, x > 0 \end{cases}$ ， $g (x) = f (x) - 2 a x$ ，若函数 $g (x)$ 有5个零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{4 e})$ B、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{2 e})$ C、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{40}, \frac{1}{4e})$

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17、若函数 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ，则称f（x）为数列 $\{a_{n}\}$ 的“伴生函数”，已知数列 $\{a_{n}\}$ 的“伴生函数”为 $f (x) = 2 x + 1$ ， $a_{1} = 1$ ，则数列 $\{n a_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} =$ （）

A、 $n \cdot 2^{n} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$ B、 $n \cdot 2^{n + 1} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$ C、 $(n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $(n - 1) \cdot 2^{n} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$

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18、已知 $A, B, C$ 是球 $O$ 的球面上的三个点，且 $∠ A C B = 120 °, A B = \sqrt{3}, A C + B C = 2$ .若三棱锥 $O - A B C$ 的体积是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $36 π$ B、 $24 π$ C、 $12 π$ D、 $8 π$

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19、若将函数 $f (x) = \cos x + \sqrt{3} \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 图象的对称轴可能是（）

A、直线 $x = \frac{π}{2}$ B、直线 $x = \frac{π}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{12}$ D、直线 $x = - \frac{π}{6}$

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20、在 $△ A B C$ 中，点D在BC上，且满足 $|B D| = \frac{1}{4} |B C|$ ，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $9 + 4 \sqrt{2}$

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年龄段（单位：岁）	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75]$
被调查的人数	10	15	20	$m$	25	5
赞成的人数	6	12	$n$	20	12	2