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相关试卷

1、已知i为虚数单位， $i^{3} + i^{5} =$ ．

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2、如图，在单位圆 $O$ 中，向量 $\vec{O B}, \vec{O C}, \vec{A O}$ 是（）

A、有相同起点的向量 B、单位向量 C、模相等的向量 D、相等的向量

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3、已知 $2 \sin (2 θ - \frac{π}{2}) = 1 + \sin 2 θ$ ，则 $\tan θ$ 的所有取值之和为（）

A、－5 B、－6 C、－3 D、2

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4、在 $△ A B C$ 中，三角形三条边上的高之比为 $2 : 3 : 4$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等腰三角形

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 3 c$ ，且 $c = \frac{1}{3} b$ ，则角 $A$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6、已知 $cos α = - \frac{7}{9}, α \in (π, \frac{3}{2} π)$ ，则 $cos \frac{α}{2} =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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7、复数 $i (2 - 3 i) =$ （）

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 - 2 i$ D、 $- 3 + 2 i$

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8、在① $\sin A \sin B \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} (\sin^{2} A + \sin^{2} C - \sin^{2} B)$ ；② $\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan B} = \frac{\sin C}{\sqrt{3} \sin A \cos B}$ ；③设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $4 \sqrt{3} S + 3 (b^{2} - a^{2}) = 3 c^{2}$ .这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知__________，且 $b = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、若 $a + c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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9、如图，已知△ABC与△ADC关于直线AC对称，把△ADC绕点A逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ ，得到△AFE，若B，C，E，F四点共线，且 $A C = 5$ ， $A B = 7$ .

(1)、求BC；

(2)、求△ADE的面积.

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10、在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B / / C D, ∠ D A B = 90 °, A B = 2 A D = 2 C D = 4$ ，点F是BC边上的中点，点E是CD边上一个动点．

(1)、若E是CD边的中点．
①试用 $\vec{A E}$ 和 $\vec{A F}$ 表示 $\vec{A B}$ ；
②若 $\vec{D E} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ 的值；

(2)、求 $\vec{E A} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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11、学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA₁＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm³ ．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，
（1）计算制作该模型所需原料的质量；
（2）计算该模型的表面积（精确到0.1）
参考数据： $\sqrt{13} \approx 3.61$ ， $\sqrt{15} \approx 3.87$ ， $\sqrt{17} \approx 4.12$

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12、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{e}$ 是同一平面的向量，其中 $\vec{e}$ 是单位向量，非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{b} - 2 \vec{e}| = 1$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最小值是．

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13、已知复数 $z = (a - 1) - 2 a i (a \in R)$ ，且 $|z| = 5$ ，若复数 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则 $a =$ ．

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\tan A + \tan B = \frac{\sqrt{3} c}{a \cos B}$ ．则下列结论正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{6}$ B、若 $a = 2$ ，则该三角形周长的最大值为6 C、若 $△ A B C$ 的面积为 $2$ ，则 $a$ 有最小值 D、设 $\vec{B D} = \frac{c}{2 b + c} \vec{B C}$ ，且 $A D = 1$ ，则 $\frac{1}{b} + \frac{2}{c}$ 为定值

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15、对于 $△ A B C$ ，有如下判断，其中正确的判断是（）

A、若 $a = 2, A = 30 °$ ，则 $\frac{b + 2 c}{\sin B + 2 \sin C} = \frac{2 b + c}{2 \sin B + \sin C} = 4$ B、若 $a = 8, b = 10, B = 60 °$ ，则符合条件的 $△ A B C$ 有两个 C、若点 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的动点，且 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| cos B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| cos C}), λ \in (0, + \infty)$ ，则点 $P$ 的轨迹经过 $△ A B C$ 的垂心 D、已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，若 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}, S_{△ A O C}, S_{△ A B C}$ 分别表示 $△ A O C, △ A B C$ 的面积，则 $S_{△ A O C} \cdot S_{△ A B C} = 1 : 6$

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16、下列命题正确的是（）

A、棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体 B、球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转 $180 °$ 所形成的曲面 C、有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台 D、用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台

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17、 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = \frac{π}{4}$ ， $O$ 是 $△ A B C$ 外接圆圆心，是 $\vec{O C} \cdot \vec{A B} + \vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、3 D、5

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18、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若 $b = a (\cos C + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin C)$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点 $D$ 在 $B C$ 上， $A D = \sqrt{3}$ ， $b = 3 c$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{7}}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、4

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\frac{5 \cos B - 8 \cos C}{8 c - 5 b} = \frac{\cos A}{a}$ ，又 $△ A B C$ 的面积 $S = 10 \sqrt{3}$ ，且 $B + C = 2 A$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} + \vec{B C} \cdot \vec{C A} + \vec{C A} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、64 B、84 C、-69 D、-89

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20、嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔. 如图，为测量塔的总高度 $A B$ ，选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 30 ^{\circ}$ ， $∠ B D C = 45 ^{\circ}$ ， $C D = 4$ ，在 $C$ 点测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60 ^{\circ}$ ，则塔的总高度为（）

A、 $12 - 4 \sqrt{2}$ B、 $12 - 4 \sqrt{3}$ C、 $12 + 4 \sqrt{2}$ D、 $12 + 4 \sqrt{3}$

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