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相关试卷

1、设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线．

(1)、若 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $\vec{m} = 2 \vec{a} - k \vec{b}$ ， $\vec{n} = 3 \vec{a} - 5 \vec{b}$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求实数k的值；

(2)、若 $\vec{O A} = \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 5 \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = 7 \vec{a} + \frac{7}{2} \vec{b}$ ，求证：A，B，C三点共线．

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2、已知菱形ABCD的边长为2， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ．将 $△ D A C$ 沿着对角线AC折起至 $△ D^{'} A C$ ，连结 $B D^{'}$ ．设二面角 $D^{'} - A C - B$ 的大小为 $θ$ ，当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时，则四面体 $D^{'} A B C$ 的外接球的表面积为．

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3、若 $x \in [0, 4]$ 时，曲线 $y = sin (π x)$ 与 $y = 2 \sin (2 π x - \frac{π}{6})$ 的交点个数为．

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4、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值为．

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5、函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + 2 \cos^{2} ω x - 1 (0 < ω < 1)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $y = f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $y = f (x + \frac{π}{6}) \cos x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $y = f (2 x + \frac{π}{3})$ 是奇函数 D、若 $y = f (t x) (t > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则实数 $t \in [\frac{11}{6}, \frac{17}{6})$

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6、筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒 $M$ 距离水面的高度 $H$ （单位：米，记水筒 $M$ 在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间 $t$ （单位：秒）满足函数关系式 $H = 2 \sin (\frac{π}{30} t + φ) + \frac{5}{4}$ ， $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $t = 0$ 时，盛水筒 $M$ 位于水面上方 $2.25$ 米处，当筒车转动到第 $80$ 秒时，盛水筒 $M$ 距离水面的高度为（）米．

A、 $3.25$ B、 $2.25$ C、 $1.25$ D、 $0.25$

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7、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M，N分别为线段AC和线段 $A_{1} B$ 的中点，求直线MN与平面 $A_{1} B_{1} B A$ 所成角为（）

A、60° B、45° C、30° D、75°

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9、已知m，n是两条不同直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $γ ⊥ β$ ，则 $α ⊥ γ$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $α ∥ β$

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (k, 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{a}$ ，则实数k等于（）

A、 $- 4$ B、4 C、0 D、 $- \frac{3}{2}$

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11、若 $z = (2 - a i) (1 + 2 i)$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 1$ D、1

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12、已知函数 $f (x) = {(1 + x)}^{r} - r x - 1 (x > - 1)$ ， $r > 0$ 且 $r \neq 1$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、比较 $\sqrt[4]{15}$ 与 $\frac{63}{32}$ 的大小，并说明理由；

(3)、当 $n \in N^{*}$ 时，证明： $\sum_{k = 1}^{n} {(\sqrt{1 + \frac{1}{k}})}^{\sin \frac{2}{k}} < n + \frac{7}{6}$ ．

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $\frac{c}{a + b + c} = \frac{sin A + sin C - sin B}{sin A}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，外接圆的面积为 $\frac{7 π}{3}$ ，求 $a, c$ .

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14、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $f^{'} (x) + 2 x > 0$ 在 $R$ 上恒成立，则不等式 $f (2 x - 1) + 3 x^{2} > f (1 - x) + 2 x$ 的解集是.

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15、已知 $A (3, 2)$ ，抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F, P$ 是抛物线C上任意一点，则 $△ P A F$ 周长的最小值为．

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16、 $(x - 1) {(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为．

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17、已知圆锥 $S O$ 的侧面展开图为一个半圆， $A C$ 为底面圆 $O$ 的一条直径， $A C = 2$ ， B为圆O上的一个动点（不与A，C重合），记二面角 $S - A B - O$ 为 $α$ ， $S - B C - O$ 为 $β$ ，则（）

A、圆锥 $S O$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、三棱锥 $S - A B C$ 的外接球的半径为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、若 $α = β$ ，则 $B O ⊥$ 平面 $S A C$ D、若 $\tan α = 2 \tan β$ ，则 $\tan α = \sqrt{15}$

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18、已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (x - 2 a) e^{x} + a^{2} (a \in R)$ 的最小值为 $g (a)$ ，则 $g (a)$ 的最小值为（）

A、 $- e$ B、 $- \frac{1}{e}$ C、0 D、1

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19、如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线与椭圆相交于P，Q 两点．若 $|P F_{1}| = 3$ ， $|P Q| = 4$ ， $|F_{1} Q| = 5$ ，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{3 y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{2 y^{2}}{9} = 1$

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20、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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