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相关试卷

1、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, A B = B C = \frac{1}{2} A A_{1} = 1$ ， $P, Q$ 分别为 $A C, A A_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1}$ ∥平面 $P B C_{1}$ ；

(2)、设平面 $P B C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的交线为 $l$ ，求二面角 $P - l - A$ 的正切值；

(3)、在线段 $C Q$ 上是否存在点 $M$ ，使直线 $A M$ 与平面 $B_{1} C Q$ 所成角的大小为 $\frac{π}{6}$ ？若存在，求出 $C M$ 的长度；若不存在，说明理由.

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2、甲､乙两支代表队进行趣味篮球对抗赛；规则如下：对抗赛分为若干局；每局比赛只有胜负两种结果，胜者得1分，负者得0分；积分首先达到3分的代表队赢得对抗赛，对抗赛结束.假定甲代表队每局比赛获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ；且各局比赛结果互不影响.

(1)、求经过3局比赛，对抗赛结束的概率；

(2)、求甲代表队赢得对抗赛的概率.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B$ $/ /$ $C D, A B ⊥ P A, C D ⊥ P D$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $D C = 2 A B, E, F$ 分别为 $B D, P D$ 的中点，求证：平面 $P B C$ $/ /$ 平面 $A E F$ .

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4、每年的4月23日为“世界读书日”.为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了200名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本数据的平均值 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(3)、已知落在 $[40, 60)$ 样本数据的平均值是53，方差是4；落在 $[60, 80)$ 样本数据的平均值是68，方差是9.求落在 $[40, 80)$ 样本数据的平均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ .

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5、抛掷一蓝､一黄两枚质地均匀且四个面分别标有数字 $1, 2, 3, 4$ 的正四面体骰子，记蓝色骰子与地面接触的面上的数字为 $x$ ，黄色骰子与地面接触的面上的数字为 $y$ ，

(1)、求“ $x y$ 为偶数”的概率；

(2)、求“ $|x - y| \leq 1$ ”的概率.

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6、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形， $P A = 1$ 且 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，点 $M$ 为 $A B$ 的中点，点 $N$ 为棱 $P C$ 上一动点，且 $C N = λ C P (0 < λ < 1)$ .若直线 $M N$ 与底面 $A B C$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，则 $λ$ 的值为.在 $A, M, B, P, N, C 6$ 个点中任取4个，则这4个点能构成三棱锥的概率为.

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7、若某正四棱台的上､下底面的边长分别为2和4，侧棱长为 $3 \sqrt{2}$ ，则其体积为.

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8、已知数据 $- 1, 2, 4, x, 7, 8$ 的众数为4，则其标准差为.

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9、已知 $D, E, F$ 是边长为2的等边三角形 $A B C$ 相应边的中点，分别沿着 $D E, E F, D F$ 把 $△ B D E, △ C E F, △ A D F$ 向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面 $D E F$ 垂直，再顺次连接 $A, B, C$ ，得到多面体 $A B C - D E F$ ，则（）

A、多面体中直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ B、多面体中直线 $B E$ 与平面 $A D F$ 所成的角为 $60^{\circ}$ C、多面体的体积为 $\frac{9}{32}$ D、多面体外接球的表面积为 $\frac{5 π}{3}$

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10、已知一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 满足 $x_{i + 1} = x_{i} + 2 (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则去掉 $x_{3}$ 后的新数据与原数据相比（）

A、平均数不变 B、中位数不变 C、方差不变 D、极差不变

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11、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的有（）

A、若 $m$ $//$ $n, m$ $//$ $β$ ，则 $n$ $//$ $β$ B、若 $α$ $//$ $β, m ⊥ α, n ⊥ β$ ，则 $m$ $//$ $n$ C、若 $m ⊥ n, m ⊥ α, n ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $m$ $//$ $β, n$ $//$ $β, m \subset α, n \subset α$ ，则 $α$ $//$ $β$

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12、先后两次抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的正六面体骰子，观察并记录骰子朝上面的点数.若甲表示事件“第一次的点数大于4”，乙表示事件“两次点数之和为7”，丙表示事件“至少有一次的点数为4”，则（）

A、甲与乙互斥 B、乙与丙互斥 C、甲与乙独立 D、乙与丙独立

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13、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是用斜二测画法得到的水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $O^{'} C^{'} = O^{'} A^{'} = 2 O^{'} B^{'} = 1$ .以 $B C$ 为轴，将 $△ A B C$ 旋转一周得到的几何体的表面积为（）

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $(2 + 2 \sqrt{2}) π$ C、 $4 \sqrt{2} π$ D、 $(2 + 4 \sqrt{2}) π$

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14、若 $a, b$ 是异面直线，则下列结论一定正确的是（）

A、存在与 $a, b$ 都平行的直线 B、存在与 $a, b$ 都垂直的平面 C、存在过 $a$ 且与 $b$ 垂直的平面 D、存在过 $a$ 且与 $b$ 平行的平面

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15、袋子中有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球､3个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则“第二次摸到白球”的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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16、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A C$ 与 $B C_{1}$ 所成角的大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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17、某公司 $A, B, C$ 三个部门的员工数量之比为 $a : 3 : 4$ ，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从 $B$ 部门抽取员工6名，则从 $A$ 部门抽取员工的数量为（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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18、给定一组数据： $10, 12, 15, 16, 18, 20, 21$ ，则其 $75 %$ 分位数为（）

A、17 B、18 C、19 D、20

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19、已知事件A与事件 $B$ 互为对立事件，且 $P (A) = 0.4$ ，则 $P (B) =$ （）

A、0.4 B、0.5 C、0.6 D、0.7

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20、如图，已知多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} A, B_{1} B, C_{1} C$ 均垂直于平面 $A B C, ∠ A B C = 120 °, A_{1} A = 4, C_{1} C = 1, A B = B C = B_{1} B = 2$ ．
（Ⅰ）求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
（Ⅱ）求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1}$ 所成角的正弦值．

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