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相关试卷

1、 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $2 b \cos A = c - b$ ．

(1)、求证： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\frac{c}{b}$ 的取值范围；

(3)、若 $∠ B A C$ 的角平分线交BC于D，且 $A D = \frac{5}{6} b$ ，求 $\cos B$ ．

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2、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证： $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值．

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3、已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{3 x}{2}, \sin \frac{3 x}{2})$ ， $b = (\cos \frac{x}{2}, - \sin \frac{x}{2})$ ，且 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ．

(1)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ，求x的值；

(2)、若 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数 $g (x) = f (x) f (x - \frac{π}{6})$ 的最大值．

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是正方形，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，且 $P A = P D = \frac{\sqrt{2}}{2} A D$ ，若E、F分别为PC、BD的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面 $C D P$ ．

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5、已知 $\sin (α + β) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan α =$ ．

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6、过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若 $∠ C O D = 90 °$ （O为底面圆心），且 $S_{△ P C D} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，则这个等边圆锥的表面积为．

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7、《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为 $2$ 的“刍童” $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，其中 $A_{1} B_{1} = 4$ ， $B_{1} C_{1} = 2$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，则（）

A、该“刍童”的所有侧棱交于一点 B、直线 $B D$ 与直线 $B_{1} D_{1}$ 异面 C、该“刍童”的所有侧棱与下底面 $A B C D$ 所成角的正弦值均为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、该“刍童”外接球的表面积为 $164π$

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8、PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位： ${μg/m}^{3}$ ）的折线图，则下列说法正确的是（）

A、这10天中PM2.5日均值的众数为33 B、这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36 C、这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数 D、这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差

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9、已知复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则（）

A、 $|z| = 1$ B、 $z \bar{z} = 1$ C、 $z^{2} + z + 1 = 0$ D、 $z^{3} + 1 = 0$

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10、设点P是单位圆的内接正六边形 $A_{1} A_{2} \cdot \cdot \cdot A_{6}$ 的边上任一点，则 ${\vec{P A_{1}}}^{2} + {\vec{P A_{2}}}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {\vec{P A_{6}}}^{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[10, \frac{25}{2}]$ B、 $[\frac{21}{2}, 12]$ C、 $[10, 12]$ D、 $[\frac{21}{2}, \frac{25}{2}]$

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11、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $C = 60 °$ ， $a + b = 5$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，则边c的值为（）

A、 $\sqrt{29}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{13}$

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12、已知α∈ $(π, \frac{3}{2} π)$ ， cos α= $-$ $\frac{4}{5}$ ，则tan $(\frac{π}{4} - α)$ 等于(　　)

A、7 B、 $\frac{1}{7}$ C、- $\frac{1}{7}$ D、-7

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13、已知 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $A = 30 °$ ， $a = 1$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则角C的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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14、某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直图，其中自习时间的范围是 $[17.5, 30]$ ，样本数据分组为 $[17.5, 20)$ ， $[20, 22.5)$ ， $[22.5, 25)$ ， $[25, 27.5)$ ， $[27.5, 30)$ ．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

A、56 B、60 C、120 D、140

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15、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，异面直线 $A_{1} B$ 与AC所成角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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16、复平面内，复数 $z = \frac{i}{1 - i}$ （i为虚数单位）对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、下列命题正确的是（）

A、数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 B、数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 C、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的标准差为1，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots \dots$ ， $2 x_{10} + 1$ 的标准差为2 D、若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数

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18、已知过点 $A (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，直线 $m : x + 3 y + 6 = 0$ ．

(1)、当 $| P Q | = 2 \sqrt{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、设 $T$ 为直线 $m$ 上的动点，过 $T$ 作圆 $C$ 的两条切线 $T G$ 、 $T H$ ，切点分别为 $G$ 、 $H$ ，求四边形 $T G C H$ 面积的最小值；

(3)、是否存在直线 $l$ ，使得向量 $\vec{O P} + \vec{O Q}$ 与 $\vec{A C}$ 共线？如果存在，求出直线 $l$ 的方程；如果不存在，请说明理由．

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19、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 上下顶点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $△ B_{1} F_{1} F_{2}$ 是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆 $Γ$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点（ $P$ 、 $Q$ 分别在第一、四象限）.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的离心率；

(2)、已知点 $M (0, m)$ ， $m > 0$ ，求椭圆 $Γ$ 上的动点 $R$ 到点 $M$ 的最大距离；

(3)、求四边形 $B_{1} B_{2} Q P$ 面积的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = k x - ln (x + 1)$ .

(1)、证明：当 $k = 1$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、设数列 $a_{n} = \frac{1}{n ln (n + 1)} (n \in N^{*})$ ， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} > \frac{n}{n + 1} (n \in N^{*})$ .

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