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相关试卷

1、已知复数 $z = \frac{5 + i}{1 - i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $1 - 3 i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $2 + 3 i$

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2、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，上下顶点分别为 $B_{1}$ 、 $B_{2}, △ B_{1} F_{1} F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，过焦点的直线交椭圆 $Γ$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点（ $P$ 、 $Q$ 分别在第一、四象限）.

(1)、求椭圆 $Γ$ 的离心率；

(2)、已知点 $M (0, m)$ ， $m > 0$ ，求椭圆 $Γ$ 上的动点 $R$ 到点 $M$ 的最大距离；

(3)、求四边形 $B_{1} B_{2} Q P$ 面积的取值范围.

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3、设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P (X = k) = \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}$ ， $k \in N$ ，其中 $λ$ 是大于0的常数，e为自然对数的底数.则称 $X$ 服从参数为 $λ$ 的泊松分布，记为 $X ~ π (λ)$ .

(1)、若 $λ = 2$ ，求 $P (X = 1)$ ；

(2)、已知当 $n \geq 20$ ， $0 < p \leq 0.05$ 时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于 $Y ~ B (n, p)$ ， $X ~ π (n p)$ ，有 $P (Y = k) \approx P (X = k)$ .请用泊松分布近似二项分布解决下列问题：若 $Y ~ B (20, p)$ ， $0 < p \leq 0.05$ ， $P (Y \leq 2) > \frac{212}{223}$ ，求实数 $p$ 的取值范围；

(3)、若 $X_{1} ~ π (λ_{1})$ ， $X_{2} ~ π (λ_{2})$ ，且 $X_{1}$ ， $X_{2}$ 的任意取值均相互独立，记 $Z = X_{1} + X_{2}$ ，试判断随机变量 $Z$ 是否服从泊松分布，如果服从，请求出泊松分布对应的参数，如果不服从，请说明理由.
参考数据： $e^{0.8} = 2.23$ .

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4、二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{k})}_{2}$ ( $k \in N^{*}$ ）对应的十进制数记为 $m_{k}$ ，即 $m_{k} = a_{0} \times 2^{k} + a_{1} \times 2^{k - 1} + ... + a_{k - 1} \times 2 + a_{k} \times 2^{0}$ $，$ 其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} \in \{0 ， 1\} （ i = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， k ）$ ，则在 $a_{0} {， a}_{1} {， a}_{2} ， \dots a_{8}$ 中恰好有2个0的所有二进制数 ${(a_{0} a_{1} ... a_{8})}_{2}$ 对应的十进制数的总和为（）

A、1910 B、1990 C、12252 D、12523

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5、有甲、乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个黑球，球除颜色外大小完全相同．某人做摸球答题游戏．规则如下：每次答题前先从甲罐内随机摸出一球，然后答题．若答题正确，则将该球放入乙罐；若答题错误，则将该球放回甲罐．此人答对每一道题目的概率均为 $\frac{1}{2}$ ．当甲罐内无球时，游戏停止．假设开始时乙罐无球．

(1)、若此人 $i$ 次答题后，乙罐内恰有红球、黑球各 $1$ 个的概率记为 $p_{i}$ ，求 $p_{2}$ ， $p_{3}$ ；

(2)、该游戏在第几次停止的概率最大，请说明理由．

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A D = C D = 2$ ， $B C = 3$ ， $P C = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面PAD；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成角的大小．
条件①： $A B = \sqrt{5}$ ；
条件②： $B C ∥$ 平面PAD．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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7、如图，在三角形 $A B C$ 中，若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B + \sin^{2} C = 2 \sqrt{3} \sin A \sin B \sin C$ ， $D B = 2$ ， $D C = 4$ ，则四边形 $A B D C$ 的面积的最大值为.

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8、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则当实数 $λ$ 变化时， $|\vec{b} - λ \vec{a}|$ 的最小值为．

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9、在二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{10}$ 的展开式中，常数项为．

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10、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, P$ 为底面正方形 $A B C D$ 内（含边界）的一动点，则下列结论正确的是（）

A、存在点 $P$ ，使得 $C_{1} P ⊥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ B、三棱锥 $B_{1} - A_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 C、当点 $P$ 在棱 $C D$ 上时， $|P A| + |P B_{1}|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} + 2$ D、若点 $P$ 到直线 $B B_{1}$ 与到直线 $A D$ 的距离相等， $C D$ 的中点为 $E$ ，则点 $P$ 到直线 $A E$ 的最短距离是 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

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11、下列命题错误的是（）

A、若数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的标准差为 $S$ ，则数据 $3 x_{1}, 3 x_{2}, 3 x_{3}, \cdot \cdot \cdot, 3 x_{n}$ 的标准差为 $3 S$ B、若 $X \sim B (4, p), D (X) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (X = 2) = \frac{27}{128}$ C、若 $X \sim N (1, σ^{2}), P (X > 0) = 0.75$ ，则 $P (0 < X < 2) = 0.5$ D、若 $X$ 为取有限个值的离散型随机变量，则 ${[E (X)]}^{2} > E (X^{2})$

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12、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，公差不为0．若 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 的前5项和为（）

A、 $- 15$ B、 $- 3$ C、5 D、25

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13、下列函数中，在区间 $(- 1, 1)$ 上为减函数的是（）

A、 $f (x) = sin x$ B、 $f (x) = cos x$ C、 $f (x) = ln (x + 1)$ D、 $f (x) = 2^{- x}$

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14、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0\}, B = {x ∣ x > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 3, 1)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(1, 3)$

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15、如图，在矩形ABCD中， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，点M为线段BC上的动点（不含端点），将 $△ A B M$ 沿AM折起，点B翻折至 $B^{'}$ 位置，且使二面角 $B^{'} - A M - D$ 的大小为60°．

(1)、若N为棱 $B^{'} D$ 的中点，且满足 $C N / /$ 平面 $B^{'} A M$ ，求 $\frac{B M}{M C}$ 的值；

(2)、若 $∠ B A M = \frac{π}{6}$ ，求三棱锥 $B^{'} - A M C$ 的体积；

(3)、求二面角 $B^{'} - C M - D$ 的正切值的取值范围．

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16、 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $2 b \cos A = c - b$ ．

(1)、求证： $A = 2 B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $\frac{c}{b}$ 的取值范围；

(3)、若 $∠ B A C$ 的角平分线交BC于D，且 $A D = \frac{5}{6} b$ ，求 $\cos B$ ．

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17、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A A_{1} = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证： $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ；

(2)、求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正切值．

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18、已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{3 x}{2}, \sin \frac{3 x}{2})$ ， $b = (\cos \frac{x}{2}, - \sin \frac{x}{2})$ ，且 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ．

(1)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = 1$ ，求x的值；

(2)、若 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，求函数 $g (x) = f (x) f (x - \frac{π}{6})$ 的最大值．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是正方形，侧面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，且 $P A = P D = \frac{\sqrt{2}}{2} A D$ ，若E、F分别为PC、BD的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求证：平面 $A B P ⊥$ 平面 $C D P$ ．

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20、已知 $\sin (α + β) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (α - β) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan α =$ ．

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