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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $b_{2} = 2$ ， $b_{5} = 16$ ， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{4} = b_{3}$ ，

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{2}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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2、英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列.如果函数 $f (x) = 3 x^{2} - 27$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列，设 $a_{n} = \ln \frac{x_{n} + 3}{x_{n} - 3}$ ，且 $a_{1} = 2$ ， $x_{n} > 3$ ，则 $a_{2025} =$ .

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} + {(- 1)}^{n + 1} a_{n} = 2 n - 1$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{6} =$ .

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4、 ${(x + \frac{2}{x})}^{4}$ 的展开式中，常数项为.（用数字作答）

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5、已知随机变量X的分布列如下：
$X$
1
2
3
…
$n$
$P$
$P_{1}$
$P_{2}$
$P_{3}$
…
$P_{n}$
若数列 $\{P_{n}\}$ 是等差数列，则下列说法正确的是（）
参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$

A、若 $n = 7$ ，则 $P (X = 4) = \frac{1}{7}$ B、若数列 $\{P_{n}\}$ 是单调递减数列，则 $P_{n} > \frac{2}{n}$ C、若 $\{P_{n}\}$ 既是等差数列，又是等比数列，则 $D (X) = \frac{n^{2} - 1}{12}$ D、若 $P_{1} = \frac{1}{8}$ ，则当 $n = 15$ 或 $n = 16$ 时， $E (X)$ 取得最大值

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6、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n}$ 有最大值，且 $\frac{a_{2024}}{a_{2025}} < - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2025} < 0$ B、当 $S_{n}$ 最大时， $n = 2024$ C、使 $S_{n} < 0$ 的最小 $n$ 值为4050 D、在数列 $\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\} (1 \leq n \leq 4048)$ 中，当 $n = 2024$ 时， $\frac{S_{n}}{a_{n}}$ 取最大值

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7、定义在 $(- 5, 2)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在 $(- 4, - 2)$ 上单调递减 C、函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、 $f (- 2) > f (- \frac{1}{2})$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2 n$ ，设 $b_{n} = (n - λ) \log_{2} (a_{n} + 2)$ ， $λ \in R$ ，若数列 $\{b_{n}\}$ 是递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 3)$ B、 $(- \infty, 4)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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9、已知随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，且 $P (X < - 2) = P (X > 6)$ ，则 $f (x) = \frac{x^{μ}}{μ^{x}} (x > 0)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(0, \frac{\ln 2}{2})$ B、 $(\frac{\ln 2}{2}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{2}{\ln 2})$ D、 $(\frac{2}{\ln 2}, + \infty)$

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10、电视剧《狂飙》于2023年1月在央视八套黄金档首播，承载着深厚的历史底蕴的《狂飙》取景拍摄地之一的江门三十三墟街即成网红打卡地，吸引了大量游客前来打卡，寻觅剧中的足迹.某文创商店为了了解游客人流量x（单位：百人次）与文创产品销售额y（单位：百元）的关系，对文创商店近期的销售情况作了统计，如下表：
$x$
2
3
4
5
6
$y$
3.8
6.1
7.8
9.9
12.4
由表中的数据得到了y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中已知 $\hat{b} = 2.1$ ，由此当预测游客人流量为700人次时，文创产品的销售额大约为（）

A、1430元 B、1420元 C、1455元 D、1416元

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11、把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（）

A、4 B、6 C、10 D、24

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} > 0$ ，且满足 $a_{5} - a_{1} = 15$ ， $a_{4} - a_{2} = 6$ ，则公比q为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ 或2 D、3

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13、若随机变量X服从两点分布， $P (X = 1) - P (X = 0) = 0.4$ ，则 $P (X = 1)$ 为（）

A、0.3 B、0.5 C、0.7 D、0.8

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14、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{5} = 15$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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15、设函数 $f (x) = 2 \cos x$ ，则 $f^{'} (2)$ 的值为（）

A、 $2 \cos 2$ B、 $- 2 \cos 2$ C、 $2 \sin 2$ D、 $- 2 \sin 2$

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16、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2}{3}$ ，右焦点F到椭圆E上任意一点的最小距离为1．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设A，B为椭圆E的左，右顶点，过点F作直线l交椭圆E于C，D两点，C与A，B不重合），连接 $A C$ ， $B D$ 交于点Q．
①求证：点Q在定直线上：
②设 $\vec{A Q} = λ_{1} \vec{A C}$ ， $\vec{B Q} = λ_{2} \vec{B D}$ ，求 $\frac{5}{λ_{1}} + \frac{1}{λ_{2}}$ 的最大值．

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17、2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．

(1)、若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；

(2)、若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列及 $E (X)$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \log_{a} (3 - x) - \log_{a} (3 + x) (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ .

(1)、判断函数的奇偶性，并说明理由；

(2)、若 $f (1) = - 1$ ，当 $x \in [- 1, 1]$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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19、将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则 $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3}$ 的概率为．

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20、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $M$ 为平面 $A B C D$ 内一动点，则下列结论正确的有（）

A、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} B$ B、若直线 $D_{1} M$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则点 $M$ 的轨迹是椭圆 C、存在点 $M$ ，使得 $\vec{D_{1} M} = \vec{D_{1} D} + \frac{1}{2} \vec{D A} + \frac{1}{2} \vec{D C}$ D、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球被平面 $A_{1} C_{1} B$ 所截得的截面面积为 $\frac{2}{3} π$

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$X$	1	2	3	…	$n$
$P$	$P_{1}$	$P_{2}$	$P_{3}$	…	$P_{n}$

$x$	2	3	4	5	6
$y$	3.8	6.1	7.8	9.9	12.4