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相关试卷

1、甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{1}{3}$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动．

(1)、求小队猜对3个谜题的概率；

(2)、求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率．

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2、已知 $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $cos \frac{α}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若 $cos (α + β) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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3、如图所示，平面 $α \cap$ 平面 $β = l$ ，平面 $α \cap$ 平面 $γ = a$ ，平面 $β \cap$ 平面 $γ = b$ ，点 $P \in$ 平面 $γ$ ，且 $P A ⊥$ 平面 $α$ ， $P B ⊥$ 平面 $β$ ．

(1)、证明：直线 $l ⊥$ 直线 $A B$ ；

(2)、若直线 $l //$ 直线 $a$ ，证明：直线 $a //$ 直线 $b$ ．

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4、在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $D C$ ， $A B$ 的中点，将面 $A D M N$ 沿 $M N$ 翻折形成三棱柱 $A N B - D M C$ ，使得平面 $A D M N$ 与平面 $B C M N$ 所成的角为 $60 °$ ，且 $A B < 2 \sqrt{3}$ ．则 $B M$ 与平面 $A D M N$ 所成角的正弦值为；三棱柱 $A N B - D M C$ 所在外接球的表面积为．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $B = 60^{\circ}$ ， $a + c = 6$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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6、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{A P} = λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{A M} = \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{P Q} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，若 $M$ ， $P$ ， $Q$ 三点共线，则实数 $λ$ 的值为．

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7、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为6， $P$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A D$ ， $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $M N$ 垂直 B、直线 $B_{1} P //$ 平面 $B M N$ C、三棱锥 $P - B M N$ 的体积为9 D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面是等腰梯形

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8、已知 $z_{1}$ ， $z_{2} \in C$ ，下列说法中正确的有（）

A、若 $z_{1} + z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ C、若 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ D、若 $z_{1} \notin R$ ，且 $z_{1} + \frac{1}{z_{1}} \in R$ ，则 $|z_{1}| = 1$

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9、下列选项中正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，满足 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 且 $\vec{c} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若点 $G$ 为 $△ A B C$ 中线的交点，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ C、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向且共线 D、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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10、已知 $α$ ， $β$ 为锐角， $tan α = \frac{3}{4}$ ， $cos (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $2 α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $π$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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11、在等腰直角 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{2}$ ， $A C = 2$ ，点 $M$ 为 $A B$ 上一动点，则 $\vec{C M} \cdot (\vec{C A} + \vec{C B})$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上投影向量为（）

A、 $(- 4, 2)$ B、 $(- 4 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5})$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(4 \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5})$

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13、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，点 $E$ 为 $A_{1} C$ 的中点， $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，则异面直线 $A E$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、已知空间中不同平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，不同直线 $m$ ， $n$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α // β$ B、若 $α // γ$ ， $β // γ$ ，则 $α // β$ C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m // n$ ，则 $α // β$ D、若 $α \cap γ = m$ ， $β \cap γ = n$ ， $m // n$ ，则 $α // β$

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15、已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（）

A、6.5 B、6 C、2.5 D、2

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16、已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i = (l + i)$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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17、泊松（Poissor）分布，是一种统计与概率学里常见到的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson）在1838年时发表.泊松分布适合于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数的概率分布.如某一服务设施在一定时间内收到的服务请求次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的侯客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光的光子数分布等等，因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位.若随机变量X服从参数为 $λ (λ > 0)$ 的泊松分布（记作 $X ~ π (λ)$ ，则其概率分布为 $P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ}$ ， $k \in N$ ，其中 $e$ 为自然对数

(1)、对于二项分布，当n很大，p很小，而乘积 $λ = n p$ 大小适中，二项分布就可以近似的看作参数 $λ = n p$ 的泊松分布.某公司制造微型芯片，次品率为0.2%，各芯片是否为次品相互独立，以X记产品中的次品数.求在1000个产品中至多有1个次品的概率（用泊松分布近似计算）；

(2)、已知 $X ~ π (λ)$ ， $λ$ 为正整数，若 $P (X = k)$ 的最大值是 $P (X = 4)$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、若 $X ~ π (0.2)$ ，试比较 $P (X \leq 2)$ 与0.99的大小，并说明理由.

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18、已知函数 $f (x) = x - \ln (1 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在原点处的切线方程；

(2)、讨论函数 $z (x) = f (x) - \frac{1}{2} m x^{2} (m \in R)$ 的单调区间；

(3)、证明： $[1 + {(\frac{1}{2})}^{0}] \times [1 + 2 \times {(\frac{1}{2})}^{1}] \times \cdot \cdot \cdot \times [1 + n \times {(\frac{1}{2})}^{n - 1}] < e^{4}$ .

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19、体育锻炼是有效增强人体体质，促进健康和预防疾病，主动追求健康的重要手段，同时也能够提高大脑的思维活动，使之变得更加灵活，更加清晰.某学校提供运动场地有室内及室外两种，室内场地的运动项目有健美操、羽毛球、乒乓球等，室外运动项目有篮球、排球、足球、网球等，某学校正在了解学生对室内外的运动项目喜欢情况是否存在性别差异，工作人员随机抽取了该学校100名学生，得到的统计数据如下表所示：
喜欢室外运动项目
喜欢室内运动项目
合计
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、试根据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该学校的学生喜欢室内外的运动项目与性别有关联?

(2)、用频率估计概率，现从该学校随机抽取10名学生，记其中喜欢室内运动项目的学生人数为随机变量X，求X的数学期望和方差；

(3)、小吒每天都会在室内外中选择一种运动，若前一天选择室内运动，则他后一天继续选择室内运动的概率为 $\frac{1}{3}$ ；若前一天选择室外运动，则他后一天继续选择室外运动的概率为 $\frac{1}{4}$ .已知小吒第一天选择了室内运动，求他第三天选择室内运动的概率.
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

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20、已知函数 $f (x) = a x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + c x + d$ 在 $x = - 1$ 和 $x = 2$ 处取得极值，且经过点（0，1）.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 2, 3]$ 时，若函数 $h (x) = f (x) - \frac{1}{3} k$ 有且仅有两个零点，求k的取值范围

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	喜欢室外运动项目	喜欢室内运动项目	合计
男生	40	10	50
女生	20	30	50
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828