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相关试卷

1、若双曲线 $m y^{2} - 4 x^{2} = 4$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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2、复数 $\frac{2 - i}{1 + 3 i}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、已知集合 $A = \{x |2^{x + 1} > 4\}$ ， $B = \{x \in Z |{log}_{2} x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 4]$ B、 $(2, 4]$ C、 $\{1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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4、如图，在边长为1的正三角形ABC中，D为AB的中点， $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N．

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A O}$ ；

(2)、若 $\vec{A M} = m \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = n \vec{A C}$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(3)、求 $O M^{2} + O N^{2}$ 的取值范围．

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，E为棱 $P C$ 的中点，平面 $A B E$ 与棱 $P D$ 交于点F．

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求证：F为 $P D$ 的中点；

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6、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a \sin C = \sqrt{3} c \cos A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = \sqrt{7}, c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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7、求当 $a$ 为何实数时，复数 $z = (a^{2} - 2 a - 3) + (a^{2} + a - 12) i$ 满足：
（1） $z$ 为实数；
（2） $z$ 为纯虚数；
（3） $z$ 位于第四象限．

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8、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角为．

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9、如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点 $A, B, C, D$ 在同一个平面内，四边形 $A B C D$ 是正方形，这个八面体的表面积为 $8 \sqrt{3}$ ，则正方形 $A B C D$ 的边长是.

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10、如图，空间四边形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 的中点， $G, H$ 分别在线段 $D C, D A$ 上，且满足 $D G = λ D C$ ， $D H = μ D A$ ， $λ, μ \in (0, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，四边形 $E F G H$ 是矩形 B、当 $λ = μ = \frac{2}{3}$ 时，四边形 $E F G H$ 是梯形 C、当 $λ \neq μ$ 时，四边形 $E F G H$ 是空间四边形 D、当 $λ \neq μ$ 时，直线 $E H, F G, B D$ 相交于一点

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11、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (1, t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t = - \frac{1}{2}$ B、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $t$ 的取值范围是 $t < 2$ C、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $t = 2$ D、若 $t = - 3$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(2, - 1)$

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12、已知i为虚数单位， $\bar{z}$ 为复数z的共轭复数， $z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ， $z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ .则下列选项中正确的有（）

A、 $|z_{1}| = |z_{2}|$ B、 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、 $z_{1} > \bar{z_{2}}$ D、 $1 + z_{1} + z_{1}^{2} = 0$

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13、点 $O, N, P, Q$ 在 $△ A B C$ 所在平面内，满足 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ， $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ， $\vec{Q A} \cdot (\frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} - \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|}) = \vec{Q B} \cdot (\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} - \frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|}) = 0$ .则点 $O, N, P, Q$ 依次为 $△ A B C$ 的（）

A、重心、外心、内心、垂心 B、外心、重心、内心、垂心 C、重心、垂心、外心、内心 D、外心、重心、垂心、内心

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14、如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，选取相距40m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，则A，B间的距离为

A、 $40 \sqrt{2}$ m B、 $20 \sqrt{2}$ m C、 $40 \sqrt{6}$ m D、 $20 \sqrt{6}$ m

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15、已知a，b，c为三条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三个不重合的平面，则下面命题正确的是（）

A、若 $α / / γ$ ， $β / / γ$ ，则 $α / / β$ B、若 $α / / c$ ， $β / / c$ ，则 $α / / β$ C、若 $a / / γ$ ， $b / / γ$ ，则 $a / / b$ D、若 $α / / c$ ， $a / / c$ ，则 $a / / α$

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16、在△ABC中，角 A， B， C所对的边分别为a， b， c， $B = 30^{\circ} ， b = \sqrt{2} ， c = 2 ，$ 则角C为（）

A、15° B、45° C、15°或105° D、45°或135°

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17、菱形 $A B C D$ 的边长为2，且 $∠ D A B = 60 °$ ， $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{B C} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- 2$ C、2 D、 $- \sqrt{3}$

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18、如图，曲线 $C$ 是一条“双纽线”.已知 $C$ 过 $(\sqrt{2}, 0), C$ 上任意一点 $P$ 到点 $F_{1} (- a, 0), F_{2} (a, 0)$ 的距离之积为定值 $a^{2} (a > 0)$ .

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $|O P|$ 的最大值；

(3)、除原点外，直线 $l_{1} : y = k_{1} x, l_{2} : y = k_{2} x$ 分别与 $C$ 相交于 $P, Q, M, N$ 四点.记四边形 $P M Q N$ 的面积为 $S$ ，求证： $S \leq \frac{2 {(1 - k_{1} k_{2})}^{2}}{(1 + k_{1}^{2}) (1 + k_{2}^{2})}$ .

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，且过点 $(1, \frac{3}{2})$ .

(1)、求曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若曲线 $C$ 的左右顶点分别为 $A, B$ ，过点 $M (3, 0)$ 且斜率为负数的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点（ $P$ 点在 $Q$ 点上方），直线 $A Q$ 与 $B P$ 的交点为 $N$ .
（i）求证：点 $N$ 在定直线 $m$ 上；
（ii）若直线 $m$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ，求 $\frac{S_{△ P A H}}{S_{△ Q B H}}$ 的取值范围.

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20、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为 $2, B C$ 中点为 $D, B_{1} C$ 与 $C_{1} D$ 交于点 $E, \vec{A F} = 2 \vec{F C}$ .

(1)、证明： $E F$ $/ /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求平面 $D E F$ 与平面 $A B C$ 所成角的余弦值.

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