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相关试卷

1、经过两直线 $x - y - 1 = 0$ 和 $3 x + y - 3 = 0$ 的交点，且与直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 垂直的直线方程是（）

A、 $y = 2 x - 2$ B、 $y = 2 x - \frac{1}{2}$ C、 $y = - 2 x + 2$ D、 $y = - 2 x + \frac{1}{2}$

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2、已知函数 $f (x) = \ln x - a x + 1$ ．

(1)、 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值 $;$

(2)、若函数 $g (x) = x f (x)$ ．
（i）证明：曲线 $y = g (x)$ 图象上任意两个不同的点处的切线均不重合．
（ii）若 $\exists x \in (- 1, + \infty)$ ，使得 $g (x + 1) - 2 x - 2 - 2 \sin x < 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin ω x cos ω x - 2 {cos}^{2} ω x + 2$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内恰有2个极值点，求 $ω$ 的取值范围；

(2)、当 $ω = 1$ 时，在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $f (A) = 3, b + c = 2$ ，求边 $a$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}$ .

(1)、证明：函数 $g (x) = f (x) - 1$ 的图象是中心对称图形；

(2)、当 $i \in Z$ 时，求 $\sum_{i = - 11}^{10} f (i + \frac{1}{2})$ 的值.

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为F，过点F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若 $\frac{| M F |}{| N F |} = \frac{1}{2}$ ，则C的离心率为

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6、若函数 $f (x)$ 是周期为2的奇函数，当 $x \in (1, 2)$ 时， $f (x) = 2^{x} + 1$ ，则 $f ({log}_{2} \frac{4}{3}) =$ .

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6 - \ln \frac{4 - x}{x}$ ，则（）

A、 $f (1) + f (3) = 4$ B、 $x = 2$ 是 $f (x)$ 的极值点 C、当 $\sqrt{6} < x < 3$ 时， $f (x^{2} - 6) < f (x)$ D、当 $f (a) + f (b) > 4$ 时， $a + b > 4$

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8、已知直线 $l$ ： $k x - y + 2 k = 0$ 和圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ 交于A，B两点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(2, 0)$ B、存在 $k$ 使得直线 $l$ 与直线 $l_{0}$ ： $x - 2 y + 2 = 0$ 垂直 C、当 $∠ A O B$ 最小时，其余弦值为 $- \frac{1}{9}$ D、若 $k = - 1$ ，直线 $l$ 被圆 $O$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{7}$

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9、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 是椭圆上任意一点，以 $P F_{1}$ 为直径作圆 $N$ ，直线 $O N$ 与圆 $N$ 交于点 $Q$ （点 $Q$ 不在椭圆内部），则 $\overset{⃑}{Q F_{1}} \cdot \overset{⃑}{Q F_{2}} =$

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、3 D、1

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10、已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，过 $C$ 上一点 $M$ 作其准线的垂线，垂足为 $N$ ，若 $∠ N M F = 120 °$ ，则点 $M$ 的横坐标是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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11、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = |\sqrt{3} - i|$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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12、随机将 $1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2 n (n \in N^{*}, n \geq 2)$ 这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最小数为 $a_{1}$ ，最大数为 $a_{2}$ ；B组最小数为 $b_{1}$ ，最大数为 $b_{2}$ ，记 $ξ = a_{2} - a_{1}, η = b_{2} - b_{1}$
（1）当 $n = 3$ 时，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；
（2）令C表示事件 $ξ$ 与 $η$ 的取值恰好相等，求事件C发生的概率 $p (c)$ ；
（3）对（2）中的事件C， $\bar{c}$ 表示C的对立事件，判断 $p (c)$ 和 $p (\bar{c})$ 的大小关系，并说明理由．

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13、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为 $A (0, 1)$ ，右顶点为 $B (2, 0)$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + t (- \sqrt{2} < t < 1)$ 与椭圆 $Γ$ 相交于点 $C$ 、 $D$ （ $A B C D$ 构成凸四边形） $．$

(1)、求椭圆 $Γ$ 的标准方程；

(2)、设直线 $A D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值；

(3)、用含 $t$ 的代数式表示凸四边形 $A B C D$ 的面积 $S (t)$ ，并求 $S (t)$ 的最大值 $．$

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14、已知函数 $f (x) = x (x - 2) (x - a)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 0)$ 对称，求 $a$ 的值；

(2)、若 $x = a$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的值；

(3)、设 $x_{1} ， x_{2}$ 是 $f (x)$ 的极值点，且满足 $f (x_{1}) + f (x_{2}) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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15、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $c = \frac{b + a cos C}{1 - cos A}$ ．

(1)、证明： $c = 2 b$ ；

(2)、当角 $B$ 最大时，求角 $A$ 的大小．

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16、一个等比数列有3项，如果把第2项加上4，那么得到的数列等差数列；如果再把这个等差数列的第3项加上32，那么得到的数列又成等比数列，求原来的等比数列.

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17、一游戏的规则如下：有①②③三个奖池，在开始时三个奖池都处于开启状态，游戏会进行若干轮，每一轮游戏都将等可能地从开启的奖池中随机选择一个并获得对应的奖品，在一个完整游戏流程中：①号奖池或②号奖池会在第二次被选择到后永久关闭，而③号奖池永远保持开启.则当游戏第 $4$ 轮进行完成时，恰有一个奖池关闭的概率为 $．$

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18、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，过 $A$ 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 $M$ ，延长 $A M$ 交另一条渐近线于 $N$ ，若 $\vec{M N} = 2 \vec{A M}$ ，则双曲线的渐近线方程为．

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19、已知定义在 $R$ 上的连续函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + e^{x}}$ ，设 $g (x) = f (1 - 2 x)$ ，则 $g^{'} (1) =$ $．$

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20、设 $a$ ， $b \in R_{+}$ ，已知函数 $f (x) = \ln x - \sqrt{a x + b}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有唯一的极值点 B、若 $f (x)$ 有两个零点，则 $a \in (0, \frac{2}{e})$
C、若 $a < 2 e^{1 - e}$ ，且 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $a e^{\sqrt{1 + b}} > 2$ D、若 $a < 2 e^{1 - e}$ ，且 $f (x) < 0$ 恒成立，则 $a e^{\sqrt{1 + b}} < 2$

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