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相关试卷

1、下列命题中的假命题是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $2^{x - 1} > 0$ B、 $\forall x \in N^{*}$ ， ${(x - 1)}^{2} > 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $\lg x < 1$ D、 $\exists x \in R$ ， $\tan x = 2$

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2、命题“ $\forall x \in (0, + \infty), e^{x} ⩾ x + 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in (0, + \infty), e^{x} ⩾ x + 1$ B、 $\forall x \in (0, + \infty), e^{x} < x + 1$ C、 $\exists x \in (0, + \infty), e^{x} < x + 1$ D、 $\forall x \in (- \infty, 0], e^{x} ⩾ x + 1$

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3、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1\}$ ， $B = \{0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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4、椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ ，椭圆 $Γ_{2} : \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > b_{2} > 0)$ ，若 $\frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{b_{2}}{b_{1}} = λ (λ > 0)$ ，则椭圆 $Γ_{1}$ 与椭圆 $Γ_{2}$ 为相似椭圆，其中 $λ$ 为相似比.已知椭圆 $Γ_{1}$ 的长轴长为4，且过点 $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), P$ 为椭圆 $Γ_{2}$ 上异于其左，右顶点 $A, B$ 的任意一点.

(1)、若 $λ = \sqrt{2}$ ，求椭圆 $Γ_{2}$ 的标准方程；

(2)、在（1）的条件下，若与椭圆 $Γ_{1}$ 有且只有一个公共点的直线 $l_{1}, l_{2}$ 恰好相交于点 $P$ ，直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(3)、若 $λ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，设直线 $P A$ 与椭圆 $Γ_{1}$ 交于点 $D, E$ ，直线 $P B$ 与椭圆 $Γ_{1}$ 交于点 $G, H$ ，求 $|D E| + |G H|$ 的值.

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5、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D$ // $B C, A D ⊥ C D, P A ⊥ P D, A D = 2 P D = 4 B C = 4, C D = 3$ .在平面 $A B C D$ 内过 $B$ 作 $B O$ // $C D$ ，交 $A D$ 于 $O$ ，连 $P O$ .

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值；

(3)、点 $E$ 是平面 $P O B$ 上的动点，若直线 $A E$ 与平面 $P C D$ 所成的角为30°，求 $O E$ 的最小值.

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点.

(1)、若 $A, B$ 关于点 $M (4, 3)$ 对称，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过 $N (0, 1)$ ，且 $A, B$ 都在双曲线 $C$ 的左支，求直线 $l$ 的斜率的取值范围.

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7、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 A C = 2, ∠ B A C = 120 °$ ， $∠ A_{1} A B$ $= 60 °$ ， $A A_{1} ⊥ A C$ ， $M$ 、 $N$ 分别是 $B_{1} C_{1}$ 、 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、求 $A M$ 的长；

(2)、求 $A M$ 与 $B N$ 所成角的余弦值.

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8、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点 $M$ 与两个定点 $A, B$ 的距离之比为常数 $λ (λ > 0$ 且 $λ \neq 1)$ ，则点 $M$ 的轨迹是圆.后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知 $A (1, 1), B (2, 1)$ ，圆 $C$ 上的点 $M$ 满足 $|M A| = \sqrt{2} |M B|$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过原点，且直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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9、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 4$ ，顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，其余顶点在 $α$ 的同侧，顶点 $B, D$ 到平面 $α$ 的距离分别为 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则顶点 $A_{1}$ 到平面 $α$ 的距离为.

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10、直线 $l : x + y - 3 = 0$ 的倾斜角为.

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11、在空间直角坐标系中，已知点 $A (1, 1, 0), B (1, 0, 2), C (0, 1, 3), D (2 x - 1, 1, - x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A D ⊥ B C$ ，则 $x = \frac{3}{2}$ B、 $\vec{u} = (0, 3, - 6)$ 是直线 $A B$ 的一个方向向量 C、 $\cos ⟨\vec{A B}, \vec{A C}⟩ = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

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12、自19世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的工具.随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支.现有一张半径为 $r (r > 0)$ ，圆心为 $O$ 的圆形纸片，在圆内选定一点 $P$ 且 $|O P| = \frac{r}{2}$ .将圆形纸片翻折一角，使圆周正好过点 $P$ ，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到 $O, P$ 两点距离之和最小的点为 $M$ .如此反复，就能得到越来越多的折痕，设 $M$ 点的轨迹为曲线 $C$ ，线段 $O P$ 的中点为 $N$ ，在 $C$ 上任取一点 $Q$ ，则 $\vec{P Q} \cdot \vec{N Q}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{8} r^{2}$ B、 $\frac{3}{16} r^{2}$ C、 $\frac{1}{4} r^{2}$ D、 $\frac{3}{4} r^{2}$

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13、已知二面角 $α - l - β$ ， $A$ 、 $B$ 两点在棱 $l$ 上，直线 $A C, B D$ 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 $l$ .已知 $A B = 2, A C = 3, B D = 4, C D = \sqrt{41}$ ，则二面角 $α - l - β$ 的大小是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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14、对于方程 $x^{2} + y^{2} \tan α = 1, α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，表示的曲线 $C$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 只能表示圆、椭圆或双曲线 B、若 $α$ 为负角，则曲线 $C$ 为双曲线 C、若 $α$ 为正角，则曲线 $C$ 为椭圆 D、若 $C$ 为椭圆，则曲线 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上

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15、已知直线 $l_{1} : x - a y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : a x + (a - 2) y + 1 = 0 (a \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、直线 $l_{1}$ 的斜率 $\frac{1}{a}$ B、直线 $l_{2}$ 过定点 $(1, - 1)$ C、若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = 1$ 或 $a = - 2$ D、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ 或 $a = 3$

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16、设圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 5$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 3 x + 4 y = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则弦 $A B$ 的长度为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、1

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17、设 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，若向量 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标为 $(x, y, z)$ .若向量 $\vec{q}$ 以 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{c} - \vec{a}\}$ 为基底时的坐标为 $(3, - 1, 2)$ ，则 $\vec{q}$ 可以 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为基底时的坐标为（）

A、 $(2, - 3, - 1)$ B、 $(3, - 1, 2)$ C、 $(1, 2, 3)$ D、 $(1, 2, 1)$

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18、双曲线 $6 x^{2} - 3 y^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $x = \pm 2 y$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $x = \pm \sqrt{2} y$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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19、设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n} = (1, - 2, 1)$ 是平面 $α$ 的法向量，则（）

A、 $l / / α$ 或 $l \subset α$ B、 $l ⊥ α$ 或 $l \subset α$ C、 $l ⊥ α$ D、 $l / / α$

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20、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上有两个不同点 $A$ ， $B$ 关于直线 $l : y = m x + \frac{1}{4}$ 对称.

(1)、记直线 $l$ 与线段 $A B$ 的交点为 $P$ .
（i）求证： $k_{A B} \cdot k_{O P}$ 为定值；
（ii）求 $P$ 的坐标（用 $m$ 来表示）.

(2)、求 $△ O A B$ 面积的最大值（ $O$ 为坐标原点）.

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