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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， E为线段 $P B$ 的中点，F为线段 $B C$ 上的动点．

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若直线EC与平面 $A E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求 $B F$ ．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1} = \frac{3}{2}$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} + 1$ ．

(1)、求证：数列 $\{a_{n} - 1\}$ 为等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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3、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，若球O同时满足条件：①与平面 $A B C_{1} D_{1}$ ，平面 $A_{1} B C D_{1}$ 均相切，②与棱 $A A_{1}$ 相切（即与棱 $A A_{1}$ 仅有一个公共点），则球O的半径的最小值为．

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4、已知 $A (- 2, 0), B (1, 0)$ ，若直线 $x - y + c = 0$ 上存在点P满足 $|P A| = 2 |P B|$ ，则实数c的最大值是．

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5、已知向量 $\vec{a}$ =（2，6）， $\vec{b}$ = $(- 1, λ)$ ，若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $λ =$ .

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6、已知函数 $f (x) = \tan (\frac{π}{6} x - \frac{π}{6})$ ，关于x的不等式 $[f (x) - a] \cdot [f (x) - a - t] \leq 0 (t > 0)$ 在区间 $(0, 2026)$ 内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（）

A、若 $a = t = 1$ ，则 $n = 338$ B、若 $t = 1$ ，则n的最小值为338 C、若存在实数a，使 $n = 676$ ，则t的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若存在实数t，使 $n = 676$ ，则a的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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7、已知 $\{z_{n}\}$ 是由复数组成的数列， $z_{n + 1} = (z_{n} - 3) \cdot i^{2026}$ （i为虚数单位），且 $z_{1} = 1 + i$ ，则（）

A、 $\frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{1 + 3 i}{2}$ B、 $z_{2} + z_{3} = 3$ C、 $|z_{1} - z_{2} + z_{3} - z_{4} + \dots - z_{2026}| = 1013 \sqrt{5}$ D、若 $|z - z_{2025}| = 1$ ，则 $|z - z_{2026}|$ 的最小值为 $\sqrt{5} - 1$

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8、下列说法正确的是（）

A、数据9，10，10，11，12，14，16，17，19，21的第60百分位数为14 B、对于随机事件A与B，若 $P (\bar{B}) = 0.3, P (B |A) = 0.7$ ，则事件A与B相互独立 C、已知一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均值为5，极差为7，中位数为6，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \dots, 2 x_{n} - 1$ 的平均值为9，极差为14，中位数为11 D、若成对样本数据的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1

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9、已知直线 $y = a x + b$ 与函数 $y = \ln x + \sqrt{x}$ 的图象相切，若 $a \in (0, \frac{1}{2}]$ ，则实数 $b$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\ln 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{e}}{2}$ D、 $2 \ln 2$

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10、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，左、右顶点分别为A，B，点P为右支上异于B的一点，过P作x轴的垂线，垂足为N，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积 $S = \sqrt{2} a \sqrt{|A N| \cdot |B N|}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11、已知 $\tan θ = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{3 - 4 \cos 2 θ + \cos 4 θ}{3 + 4 \cos 2 θ + \cos 4 θ}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{16}$

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12、若数列 $\{x_{n}\}$ 满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为“ $k -$ 等差数列．已知 $\{a_{n}\}$ 为“ $2 -$ 等差数列，且 $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ ，则 $a_{11} =$ （）

A、91 B、111 C、121 D、133

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13、为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为 $3 {.6kg/m}^{3}$ ，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过 $0 {.08kg/m}^{3}$ ，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a^{2} - b^{2} - c^{2} = b c = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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15、已知a，b为实数，则“ $a < b < 0$ ”是“ $a b < a^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = \{x |\frac{x - 3}{x} < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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17、已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 有公共的焦点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知 $M (0, 3)$ ， P是C上的任意一点，求 $|P M|$ 的最小值．

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18、已知函数 $f (x) = a ln (x + 1)$ ， $g (x) = x f (x)$ .

(1)、若 $a > 0$ ，求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $e^{x} - 1 \geq f (x)$ ， $h (x) = g (x) - cos x$ .
（ⅰ）求 $a$ ；
（ⅱ）函数 $h (x)$ 图象上是否存在关于原点对称的点？若存在，试确定对称点的组数；若不存在，请说明理由.

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19、在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择：
方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为 $\frac{3}{4}$ ；
方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为 $\frac{4}{5}$ ；
方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率；

(2)、物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下：
①第1次，随机选择一种方案；
②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ .
（i）求 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ，并证明：数列 $\{a_{n} + \frac{4}{5} b_{n} - \frac{2}{3}\}$ 为等比数列；
（ii）求 $a_{n}$ 和 $b_{n}$ ，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率.

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20、在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC
⊥平面ABC，SA=SC=2 ， M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；
（3）求点B到平面CMN的距离．

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