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相关试卷

1、已知 $i$ 为虚数单位，定义 $x^{n} = 1$ 的解称为 $n$ 次单位根或单位根，这 $n$ 个单位根分别为 $ω_{k} = cos \frac{2 k π}{n} + i \cdot sin \frac{2 k π}{n} (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)$ .复数单位根相关领域都有广泛的应用.例如在平面几何中，记 $\vec{O Z_{1}}$ 对应的复数为 $z_{1} = r (cos α + i·sin α)$ ，将 $\vec{O Z_{1}}$ 绕原点O逆时针旋转 $\frac{2 k π}{n}$ 得到 $\vec{O Z_{2}}$ ，则 $\vec{O Z_{2}}$ 对应的复数为 $z_{2} = z_{1} ω_{k} = r [cos (α + \frac{2 k π}{n}) + i·sin (α + \frac{2 k π}{n})]$ .

(1)、方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 在复数域上的两根为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，将 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的向量 ${\vec{O Z}}_{1}$ ， ${\vec{O Z}}_{2}$ 逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 后得到 ${\vec{O Z}}_{3}$ ， ${\vec{O Z}}_{4}$ ，记 ${\vec{O Z}}_{3}$ ， ${\vec{O Z}}_{4}$ 对应的复数为 $z_{3}$ ， $z_{4}$ ，求 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ， $z_{4}$ （用代数形式表示）；

(2)、若把平面直角坐标系中的点 $P (x_{0}, y_{0})$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $θ$ 弧度后得到点 $Q (x, y)$ ，请用 $x_{0}$ 、 $y_{0}$ 、 $θ$ 分别表示出 $x$ 、 $y$ ；（其中 $x_{0}$ 、 $y_{0}$ 、 $x$ 、 $y$ 均为实数）

(3)、定义在整数集上的函数 $f (x) = \{\begin{cases} 1, & x = 3 k (k \in Z) \\ ω, & x = 3 k + 1 (k \in Z) \\ ω^{2}, & x = 3 k + 2 (k \in Z) \end{cases} (ω = cos \frac{2 π}{3} + i \cdot sin \frac{2 π}{3})$ ，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) ω + f (x_{3}) ω^{2} = 0$ ，其中 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} \in \{0, 1, \dots, 9\}$ ，令 $n = 100 x_{1} + 10 x_{2} + x_{3}$ 求 $f (n)$ 的所有可能取值；

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2、已知在锐角 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， O为 $△ A B C$ 的外心， $△ A O C$ 、 $△ B O C$ 、 $△ A O B$ 的面积分别记 $S_{△ A O C}$ 、 $S_{△ B O C}$ 、 $S_{△ A O B}$ 满足 $S_{△ B O C} \cdot \vec{O A} + S_{△ A O C} \cdot \vec{O B} + S_{△ A O B} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$

(1)、求证： $\vec{O B} + sin 2 A \cdot \vec{O A} - cos 2 A \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{2}$ ，求 $|3 \vec{O B} + 2 \vec{O A} + \vec{O C}|$ 的取值范围；

(3)、若 $\vec{B O} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，求 $x + y$ 的最大值.

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3、如图，在棱长都为4的直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中，D，E，F，G，H分别为 $B C$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 的体积；

(2)、证明：E，F，G，H四点共面，且此平面与 $A_{1} D$ 平行；

(3)、证明： $E G$ ， $F H$ ， $A A_{1}$ 三线共点.

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4、如图所示，在扇形广场 $A O B$ 中， $∠ A O B$ 为锐角，四边形 $O M P N$ 是平行四边形，点 $P$ 在弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上，点M，N分别在线段 $O A$ ， $O B$ 上， $O P = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 6$ ，记 $∠ P O B = θ$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{6}$ 时，求 $\vec{O P} \cdot \vec{N B}$ ；

(2)、草地为阴影部分，求面积 $S$ 关于 $θ$ 的函数关系式，并求当 $θ$ 为何值时， $S$ 取得最小值.

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5、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (0 < ω < 2, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ， $f (0) = \sqrt{3}$ 且 $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $f (B) = 0$ ， $a = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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6、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 对任意实数 $x, y$ 都有 $|\vec{a} - x \vec{b}| \geq |\vec{a} - \vec{b}|$ ， $|\vec{a} - y \vec{c}| \geq |\vec{a} - \vec{c}|$ 成立．若 $| \vec{a} | = 2$ ，则 $\vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a})$ 的取值范围是．

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7、四等分切割如下图所示的圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是.

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8、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知M，N，P分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ ， $B C$ 的中点，点 $Q$ 在线段 $C C_{1}$ 上，则下列结论正确的是（）

A、 $P Q //$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、若Q，M，N，P四点共面，则 $C Q = \frac{1}{2}$ C、过点 $Q$ 有且仅有一条直线与 $D B_{1}$ ， $A A_{1}$ 都相交 D、点 $F$ 在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 上（包括边界），且 $A_{1} F //$ 平面 $A P Q$ ，则三棱锥 $F - A P Q$ 的体积为 $\frac{2}{3}$

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9、下列四个命题中错误的是（）

A、如果 $a$ ， $b$ 是两条直线且 $a // b$ ，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何一个平面 B、如果直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a // α$ ，那么 $a$ 与平面 $α$ 内的任何一条直线平行 C、如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a // b$ ， $a // α$ ， $b ⊄ α$ ，那么 $b // α$ D、如果直线 $a$ 与平面 $α$ 内的无数条直线平行，那么直线 $a$ 必平行于平面 $α$

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10、如图所示的四个正方体中， $A, B$ 为正方体的两个顶点， $M, N, P$ 分别为其所在棱的中点，能得出 $A B / /$ 平面 $M N P$ 的图形的序号为（）

A、①② B、③④ C、①②③ D、②④

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11、若圆锥的高为3，体积是 $3 π$ ，则它的侧面展开图的面积为（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $3 \sqrt{3} π$ C、 $6 π$ D、 $9 π$

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12、在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $D$ 是 $B C$ 上的一点，若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线， $A D = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积的取值范围是（）

A、 $[9 \sqrt{3}, + \infty)$ B、 $[\frac{3 \sqrt{3}}{2}, + \infty)$ C、 $[3 \sqrt{3}, + \infty)$ D、 $[\frac{3 \sqrt{3}}{4}, + \infty)$

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13、如图， $P$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面外一点， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $P C$ 上一点，O为AC与BE交点.当 $P A //$ 平面 $E B F$ 时， $\frac{C F}{C P} =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{9}$

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14、已知 $a = 2^{0.4}$ ， $b = {log}_{0.4} 2$ ， $c = tan 43 °$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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15、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + \sqrt{3} i) = - 4 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $|z| =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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16、已知圆心在原点的圆被直线 $y = x + 1$ 截得的弦长为 $\sqrt{14} .$
（1）求圆的方程；
（2）设动直线 $y = k (x - 1) (k \neq 0)$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，问在 $x$ 轴正半轴上是否存在定点 $N$ ，使得直线 $A N$ 与直线 $B N$ 关于 $x$ 轴对称？若存在，请求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

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17、已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，点 $D (0, \sqrt{3})$ 在椭圆 $M$ 上，过原点 $O$ 作直线交椭圆 $M$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，且点 $A$ 不是椭圆 $M$ 的顶点，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，点 $C$ 是线段 $A H$ 的中点，直线 $B C$ 交椭圆 $M$ 于点 $P$ ，连接 $A P$
（1）求椭圆 $M$ 的方程及离心率；
（2）求证： $A B ⊥ A P$ ．

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作x轴的垂线交椭圆与点P，若直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{4}{3}$ ，则椭圆C的离心率为.

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19、已知直线 $l$ ： $k x + y + 2 k - 1 = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 6 y - 7 = 0$ 相交于A，B两点，则（）

A、若圆C关于直线 $l$ 对称，则 $k = 1$ B、 $|A B|$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、当 $k = 3$ 时，对 $\forall λ \in R$ ，曲线 $W$ ： $x^{2} + y^{2} + 3 λ x + (λ - 6) y + 5 λ - 7 = 0$ 恒过直线 $l$ 与圆C的交点 D、若A，B，C，O（O为坐标原点）四点共圆，则 $k = \frac{10}{3}$

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20、在空间直角坐标系Oxyz中， $A (2, 0, 0)$ ， $B (1, 1, - 2)$ ， $C (2, 3, 1)$ ，则（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 5$ B、 $|\vec{A C}| = 2 \sqrt{3}$ C、异面直线OB与AC所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{30}$ D、点O到直线BC的距离是 $\frac{3 \sqrt{42}}{14}$

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