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相关试卷

1、设 $U = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∣ x_{i} \in {- 2, - 1, 1, 2}, i = 1, 2, 3}$ 为空间中64个点构成的集合，点 $P (1, 1, 1)$ ，记样本空间 $Ω = ∁_{U} {P}$ .从 $Ω$ 中随机取一个点，定义随机变量 $X$ 如下：对 $Ω$ 中的每个点 $A (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ ，令 $X (A) = x_{1} + x_{2} + x_{3}$ .则 $X$ 的数学期望为（　　）

A、 $- \frac{1}{21}$ B、 $- \frac{1}{63}$ C、 $0$ D、 $\frac{1}{7}$

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2、一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深厚的历史文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_{i} (i = 1, 2, ⋯, 12)$ ，其中 $a_{1} = 1, a_{2} = a_{3} = 3; a_{4} = a_{5} = 5$ ，且 $a_{6}, a_{7}, ⋯, a_{12}$ 是一个首项为7，公差为2的等差数列.将 $a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{12}$ 分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为 $d (d > 0)$ 的等差数列，则 $d =$ （　　）

A、2 B、4 C、6 D、8

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3、已知函数 $f (x) = \frac{x + 2}{e^{x} + a}$ 的最大值为1，则 $a =$ （　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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4、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x (p_{1} > 0)$ 和 $C_{2} : x^{2} = 2 p_{2} y (p_{2} > 0)$ 均经过点 $(4, 8)$ ，则 $C_{1}$ 的焦点与 $C_{2}$ 的焦点之间的距离为（　　）

A、12 B、 $4 \sqrt{5}$ C、6 D、 $\frac{\sqrt{65}}{2}$

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5、曲线 $y = 5 x + 8 l n x$ 在点 $(1, 5)$ 处的切线方程为（　　）

A、 $y = 3 x + 2$ B、 $y = 5 x$ C、 $y = 8 x - 3$ D、 $y = 13 x - 8$

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6、已知集合 $A = {s i n \frac{7 π}{6}, c o s \frac{5 π}{3}, t a n \frac{5 π}{4}}$ ， $B = {- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}, 1}$ ，则 $A \cap B =$ （　　）

A、 ${- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}}$ B、 ${- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1}$ C、 ${- \frac{1}{2}, 1}$ D、 ${- \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2}, 1}$

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7、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线，且 $2 \vec{a} + y \vec{b} = x \vec{a} - 3 \vec{b}$ ，则（　　）

A、 $x = 2$ ， $y = - 3$ B、 $x = - 2$ ， $y = 3$ C、 $x = 2$ ， $y = 3$ D、 $x = - 2$ ， $y = - 3$

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8、样本数据6，8，4，5，12的中位数为（　　）

A、5 B、6 C、8 D、9

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9、从包含甲、乙两人的 $7$ 人中选出 $3$ 人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（）种

A、 $120$ B、 $60$ C、30 D、20

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10、如图， $D$ 是等边 $△ O B C$ 内的动点，四边形 $O A D C$ 是平行四边形， $|O A| = |O D| = 1$ .则 $|\vec{O A} + \vec{O B}|$ 的最大值.

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11、如图，设正三角形 $A B C$ 的边长为1. $O$ 为 $△ A B C$ 的外心， $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ 为 $B C$ 边上的 $n + 1$ 等分点， $Q_{1}, Q_{2}, \dots, Q_{n}$ 为 $A C$ 边上的 $n + 1$ 等分点，

(1)、当 $n = 2$ 时，求 $|\vec{O C} + \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + \vec{O B}|$ 的值；

(2)、当 $n = 2023$ 时，求 $|\vec{O C} + \vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + \dots + \vec{O P_{2023}} + \vec{O B}|$ 的值；

(3)、当 $n = 9$ 时，求 $\vec{O C} \cdot \vec{C P_{i}} + \vec{O C} \cdot \vec{C Q_{j}}$ 的值（用 $i, j$ 表示）.
（参考公式： $1 + 2 + \dots + n = \frac{(1 + n) n}{2}$ ）

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12、《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑（qiàn）堵（dǔ）.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖（biē）臑（nào）.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云•中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得，”阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.

(1)、在下右图（图一）画出阳马和鳖臑（不写过程，并用字母表示出来），求阳马和鳖臑的体积比；

(2)、若 $A B = C C^{'} = 4$ ， $B C = 2$ ：
①在右图（图二）中，求三棱锥 $B^{'} - A^{'} B C^{'}$ 的高.
②求三棱锥 $B^{'} - A^{'} B C^{'}$ 外接球的体积.

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 c - b = 2 a cos B$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，且 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的范围.

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14、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $a^{2} + c^{2} - \sqrt{2} a c = b^{2}$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $A = 75 °$ ， $b = 2$ ，求边c和 $△ A B C$ 的面积.

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15、已知：在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， P是 $B N$ 上的一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{1}{7} \vec{A C}$ ，则实数m的值为

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16、若 $m$ 为实数，且复数 $(m^{2} - 3 m + 2) + (m^{2} + m - 2) i$ 为纯虚数，则 $m$ 的值为．

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17、第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆 $O_{1}$ ， $O_{2}$ ， $O_{3}$ 互相过圆心，A，B为圆 $O_{1}$ 上两点，且 $O_{1} A ⊥ O_{1} B$ ，点C在圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{3}$ 上运动．若 $\vec{O_{1} C} = λ \vec{O_{1} A} + μ \vec{O_{1} B}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），则下列选项可能成立的是（）

A、 $λ = - 2$ B、 $λ μ = 3$ C、 $λ - 2 μ = - 4$ D、 $λ^{2} + 2 μ^{2} = 5$

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18、如图， $A B$ 是圆锥 $S O$ 的底面圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是底面圆 $O$ 上异于 $A$ 、 $B$ 的动点，点 $M$ 是母线 $S B$ 上一点，已知圆锥的底面半径为 $1$ ，侧面积为 $4 π$ ，则下列说法正确的是（）

A、该圆锥的体积为 $\sqrt{15} π$ B、该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 $\frac{π}{2}$ C、三棱锥 $S - A B C$ 的体积的最大值为 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ D、若 $B M = 1$ ，则从点 $B$ 出发绕圆锥侧面一周到达点 $M$ 的最短长度为 $5$

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19、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，若 $a = 1$ ， $sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，则 $b$ 的值可能为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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20、“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中， $A B = 4, A_{1} B_{1} = 2$ ，若从中取出 $74 kg$ 米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（）

A、 $38 kg$ B、48kg C、57kg D、 $112 kg$

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