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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，棱长为1，点P是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的动点（包括正方形边界），则（）

A、若P到点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ 距离相等，则P的轨迹是线段 $B_{1} D_{1}$ B、P到直线AB距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、存在点P，使得二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ D、若P是 $A_{1} C_{1}$ 中点，则PA与平面ABCD所成角的正切值为 $\sqrt{2}$

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2、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x - 1) = 2$ ，且 $y = f (2 x + 1) + 2$ 为奇函数，则 $f (2025) =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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3、石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量 $Y_{n}$ 与超声处理时间 $t$ （单位：分钟）满足 $\lg Y_{t} = t \lg (1 + k) + \lg Y_{0}$ ，其中 $Y_{0}$ 为初始颗粒数量， $k$ 为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数 $k$ 约为（）（参考数据： $10^{\frac{1}{3}} \approx 2.154$ ， $10^{\frac{1}{4}} \approx 1.778$ ）

A、56.2% B、77.8% C、115.4% D、118.4%

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4、当 $0 < x < y < 1$ 时，下列不等式中正确的是（）

A、 ${(1 - x)}^{\frac{1}{y}} > {(1 - x)}^{y}$ B、 ${(1 + x)}^{x} > {(1 + y)}^{y}$ C、 ${(1 - x)}^{y} > {(1 - x)}^{\frac{y}{2}}$ D、 ${(1 - x)}^{x} > {(1 - y)}^{y}$

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5、异面直线a，b所成的角为 $60 °$ ，过空间一点P作直线l，使l与a，b所成的角均为 $50 °$ ，这样的直线条数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， $\frac{b}{a + c} = \frac{\sin A - \sin C}{\sin A - \sin B}$ ，则 $∠ C =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7、已知一个正方体的顶点都在球面上，该球的体积为 $36 π$ ，则正方体的棱长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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8、函数 $f (x) = \cos 2 x - 4 \cos x$ 的值域是（）

A、 $(- \infty, - 3]$ B、 $[5, + \infty)$ C、 $[- 3, 5]$ D、 $[- 5, 3]$

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9、非零单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则 $\vec{b} - \vec{a}$ 与 $\vec{a}$ 夹角是（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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10、已知a，b为实数，则“ $a + b \geq 1$ ”是“ $a \geq 1$ 且 $b \geq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、一个不透明盒子中装有4个红球和3个白球，这些球除颜色外无其它差别.从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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12、复数 $z = (2 + i) (1 - i)$ ，则 $z$ 的实部为（）

A、3 B、 $- 1$ C、1 D、2

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13、甲乙两名选手参加某球类比赛，比赛采用积分制：赛满奇数局，赢1局得2分，输者不得分，积分多者胜．已知甲选手每局比赛获胜的概率为 $p (\frac{1}{2} < p < 1)$ ，每局比赛的结果相互独立．

(1)、若两人共进行了3局比赛，且 $p = 0.6$ ，求甲最终获胜的概率及甲得分的方差；

(2)、若两人共进行了 $2 n - 1$ 局 $(n \in N^{*})$ 比赛，甲最终获胜的概率为 $p_{n}$ ，证明： $p_{n + 1} > p_{n}$ ，并说明其统计意义．

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $a = 2$ 时，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = t (t \in R)$ 有两个实根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，求证： $|x_{1} - x_{2}| < 3 t - 1$ ．

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15、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 2$ ， $S_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 2} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，求 $a_{1}$ 和数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(2)、若 $a_{1} = a_{2}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B = A P = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， E为PD的中点．

(1)、证明： $P B //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求二面角 $D - A E - C$ 的余弦值．

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17、一个袋子中有大小相同的6个小球，分别标记着1，2，2，3，4，5，现从中随机摸出3个小球．记摸到的小球上的数字的最小值为 $X$ ．

(1)、求 $P (X = 2)$ ；

(2)、求 $X$ 的分布列和数学期望．

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18、在棱长为1个单位的正四面体ABCD上，一个质点在随机外力的作用下从顶点 $A$ 出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设经过 $n$ 秒（ $n \in N^{*}$ ）后，质点位于平面BCD的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{3} =$ ， $p_{n} =$ ．

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19、已知函数 $f (x) = 5 \ln x - 2 f^{'} (1) x^{2} - 1$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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20、 $(1 + \frac{1}{x^{2}}) {(1 - x)}^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为．

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