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相关试卷

1、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ 、 $△ A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，且 $A B = 2 A A_{1} = 4$ ， $A A_{1} = A_{1} B_{1} = B B_{1}$ ．

(1)、证明： $A B_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、若 $A B$ 的中点为 $D$ ，求直线 $D B_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小．

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2、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $2 \vec{B C} = 3 \vec{A D}$ ， $2 \vec{B N} = \vec{N C}$ ，设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{B D}$ ， $\vec{A N}$ ；

(2)、若 $A N$ 与 $B D$ 相交于点 $M$ ， $B C = 6$ ， $A B = 2$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\cos ∠ D M N$ ．

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3、如图，八面体 $Ω$ 的每一个面都是边长为4的正三角形，且顶点B，C，D，E，在同一个平面内．若点 $M$ 在四边形 $B C D E$ 内（包含边界）运动，当 $M A ⊥ M E$ 时，则点 $M$ 的轨迹的长度为．

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4、当 $x \in [- π, π]$ 时， $sin x \geq cos x$ 的解集为．

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5、使 $a > b$ 成立的一个充分而非必要的条件是．

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6、著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1 ， x \in Q \\ 0 ， x \in ∁_{R} Q \end{array}$ ，被称为狄利克雷函数，其中 $R$ 为实数集， $Q$ 为有理数集，下面关于狄利克雷函数 $f (x)$ 的正确结论是（）

A、对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (f (x)) = 0$ B、函数 $f (x)$ 是偶函数 C、若 $T \neq 0$ 且 $T$ 为有理数，则 $f (x + T) = f (x)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立 D、在 $f (x)$ 图象上存在不同的三个点 $A, B, C$ ，使得 $△ A B C$ 为直角三角形

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7、假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：

记智力曲线为 $I$ ，情绪曲线为 $E$ ，体力曲线为 $P$ ，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（）

A、智力曲线 $I$ 的最小正周期是三个曲线中最大的 B、在出生起180天内，体力共有7次达高峰值 C、第94天时，情绪值小于15 D、第62天时，智力曲线 $I$ 和情绪曲线 $E$ 均处于上升期

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8、对于一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件A，B，C，D，用 $|A|$ 表示事件 $A$ 中的样本点个数．若 $|Ω| = 60$ ， $|A| = 30$ ， $|B| = 10$ ， $|C| = 20$ ， $|D| = 30$ ， $|A \cup B| = 40$ ， $|A \cap C| = 10$ ， $|A \cup D| = 60$ ，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 对立 B、 $A$ 与 $D$ 不对立 C、 $C$ 与 $D$ 互斥 D、 $A$ 与 $C$ 相互独立

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x + 1, x < 1 \\ \log_{a} x + 2 a, x \geq 1 \end{array} (a > 0, a \neq 1)$ ，若 $f (x) \leq \frac{3}{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{4}]$ B、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3}{4}]$ D、 $[\frac{3}{4}, 1)$

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10、已知向量 $\vec{a} = (3 - m, 3)$ ， $\vec{b} = (2, m + 4)$ ，若 $| \vec{a} - 3 \vec{b} | = | \vec{a} + 3 \vec{b} |$ ，则实数 $m =$ （）

A、3 B、6 C、 $- 6$ D、 $- 18$

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11、已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55的第65百分位数是50，那么实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[50, + \infty)$ B、 $(50, + \infty)$ C、 $(50, 55)$ D、 $[50, 55]$

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12、已知 $\frac{π}{4} \leq α \leq \frac{π}{2}$ ， $sin 2 α = \frac{4}{5}$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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13、如图，圆台 $O O_{1}$ 的侧面展开图扇环的圆心角为 $180^{\circ}$ ，其中 $S A = 2, S B = 4$ ，则该圆台的高为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、4

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14、已知复数 $z_{1} = - 2 + i$ ， $z_{2} = 1 + 2 i$ ，在复平面内，复数 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 所对应的两点之间的距离是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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15、设集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{(x, y) |x \in A, y \in A, x - y \in A\}$ ，则集合 $B$ 的元素个数为

A、4 B、3 C、2 D、1

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16、某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有 $2$ 个白球和 $3$ 个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加 $1$ 个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．

(1)、求第 $2$ 名和第 $3$ 名顾客各抽中一份奖品的概率；

(2)、求这两份奖品都被第 $n$ 名顾客抽取的概率；

(3)、求由第 $k$ 名顾客终止抽奖活动的概率．

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17、（1）过 $△ A B C$ 的重心G作直线l，若l与边 $B C$ 平行，与 $A B, A C$ 分别交于D，E两点，求 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的面积比；
（2）在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{B F} = m \vec{B C}, \vec{A O} = n \vec{A F}$ ，其中 $m, n \in (0, 1)$ ，过O作直线l，与线段 $A B, A C$ 分别交于D，E两点，求证： $(1 - m) \frac{A B}{A D} + m \frac{A C}{A E} = \frac{1}{n}$ ；
（3）在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{2}$ ， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，得到四棱锥 $S - B C E D$ ，在二面角 $S - D E - B$ 处于 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 过程中，作 $∠ S B E$ 的角平分线交 $S E$ 于点M，记 $B M$ 与平面 $S C D$ 的交点为N，过N作直线l，与线段 $S C, S D$ 分别交于P，Q两点，记四棱锥 $S - B P M Q$ 的体积为 $V_{1}$ ，四棱锥 $S - B C E D$ 的体积为V，求 $\frac{V_{1}}{V}$ 的最小值．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{6}$ ， $B C = 6, B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $B D$ ；

(2)、若 $M, N$ 是线段 $B D$ 上动点，且 $∠ M A N = \frac{π}{3}$ ，记 $∠ D A M$ 为 $θ$ ．
（i）用 $\tan θ$ 表示 $D M$ ；
（ii）求 $△ M A N$ 面积的最小值．

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19、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = 4, A D = \sqrt{21}, B D = \sqrt{13}, ∠ A B C = 90 °, E$ 是 $A C$ 的中点，且 $D E = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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20、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 1) x + 2$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若方程 $f (2^{x}) = 0$ 在 $x \in [2, 3]$ 上有解，求实数a的取值范围．

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