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相关试卷

1、若 ${(1 - x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5}$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $16$ C、 $32$ D、 $64$

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2、双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ 的实轴长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3、已知命题 $p : \exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ ，那么 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \leq 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 \geq 0$

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4、某厂的一车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为 $\frac{1}{3}$ ，发生故障时需1名维修工人进行维修.

(1)、若发生故障的机床数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、已知每名维修工人每月的工资为3万元，且1名维修工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生9万元的利润，否则将不产生利润.现该厂准备为该车间招聘 $k (k = 0, 1, 2, 3)$ 名维修工人，设该车间每月获利为 $Y_{k} (k = 0, 1, 2, 3)$ .
（i）当 $k = 1$ ，即该厂准备为该车间招聘1名维修工人时，求该车间每月获利的均值 $E (Y_{1})$ ；
（ii）若你是该厂厂长，请你决定招聘维修工人的人数 $k$ 的值，并说明理由.

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5、已知在 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，前 $3$ 项的系数分别为 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ，且满足 $2 a_{2} = a_{1} + a_{3}$ .

(1)、展开式中是否存在常数项，若存在，求出该常数项；若不存在，请说明理由；

(2)、求展开式中系数最大的项.

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6、某市高二年级期末统考的数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $X \sim N (100, 144)$ .

(1)、估计数学成绩超过112分的人数占总人数的比例；

(2)、若该市有10000名高二年级考生，估计全市数学成绩在 $(88, 124]$ 内的学生人数.
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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7、某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按 $[0, 1)$ ， $[1, 2)$ ， $[2, 3)$ ， $[3, 4)$ ， $[4, 5)$ ， $[5, 6]$ 分组，得到如下的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若采用分层抽样的方法在 $[0, 1)$ ， $[5, 6]$ 两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在 $[0, 1)$ 的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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8、高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，现小禹同学对该高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 $\frac{1}{3}$ 的概率向左， $\frac{2}{3}$ 的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，则2号球槽中落入个小球的概率最大.

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9、有5个男生和3个女生，现从中选出5人担任5门不同学科的课代表，已知男生甲必须包括在内，但不担任语文课代表，则不同选法有种.（用数字回答）.

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10、已知 ${(2 x - 1)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{6} =$ ．

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11、杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（）

A、第20行中最大的数是第11个数 B、第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为 $6 : 1$ C、记第20行第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{20} 2^{i - 1} a_{i} = 30^{20}$ D、第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列 $\{a_{n}\}$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $C_{n + 3}^{4}$

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12、在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（）

A、 $P (B) = 0.76$ B、 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、 $P (A \cup B) = 0.94$ D、 $P (A |B) = \frac{18}{19}$

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13、下列结论正确的是（）

A、 $C_{8}^{3} = C_{8}^{5}$ B、 $C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = C_{7}^{3}$ C、 $\frac{A_{8}^{5} + A_{8}^{4}}{A_{9}^{6} - A_{9}^{4}} = \frac{5}{27}$ D、 $A_{20}^{10} = 20 \times 19 \times \dots \times 11 \times 10$

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14、随机事件 $A$ 、 $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (\bar{B} |A) = \frac{1}{3}$ ，下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $\bar{B}$ 互斥 B、 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{5}$ C、 $P (A B) = \frac{2}{9}$ D、 $P (A \bar{B}) = P (\bar{A})$

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15、我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2026年是马年，那么 $(11^{11} + 2)$ 年后是（）

A、羊年 B、马年 C、龙年 D、兔年

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16、已知 $ξ \sim N (9, σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 11) = \frac{1}{5}$ ，则 $P (7 \leq ξ \leq 9) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{10}$

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17、已知点 $F$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 p y$ 的焦点，点 $G (- 2, 1)$ 在 $C$ 上.

(1)、求 $C$ 的方程与点F坐标：

(2)、过点 $(0, 3)$ 的直线，与抛物线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，一条垂直于 $x$ 轴的直线，分别与线段 $A B$ 和直线 $y = - 3$ 相交于 $P, Q$ 两点.
（i）若 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，求证：直线 $Q A$ 为抛物线 $C$ 的切线；
（ii）若直线 $Q A$ 为抛物线 $C$ 的切线，过点 $Q$ 作直线 $A F$ 的垂线，垂足为 $H$ ，求 $|G H|$ 的最大值.

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18、如图.底面为平行四边形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, D C = C C_{1} = 4, B C = 2$ ，点 $M$ 为边 $D C$ 上的中点，点 $P$ 是空间一点.

(1)、证明： $C A_{1}$ $/ /$ 平面 $A M D_{1}$ ；

(2)、若平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $A M D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $cos ∠ B C D$ ；

(3)、若 $B C ⊥ C D$ ，直线 $P C ⊥$ 平面 $P A D_{1}$ ，则在平面 $A D_{1} M$ 内是否存在点 $Q$ ，使得 $P Q$ 的长为定值，若存在，指出点 $Q$ 的位置，若不存在，请说明理由.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3}$ .

(1)、直线 $l$ 过点 $(0, \frac{2}{3})$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切，求直线 $l$ 方程；

(2)、已知 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ 在导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象上，以点 $P_{n}$ 为圆心的 $⊙ P_{n}$ 与 $x$ 轴都相切，且 $⊙ P_{n}$ 与 $⊙ P_{n + 1}$ 彼此外切.若 $x_{1} = 1$ ，且 $0 < x_{n + 1} < x_{n} (n \in N^{*})$ ，求数列 $\{x_{n} \cdot x_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项之和 $S_{n}$ .

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20、某公司为了了解A商品销售收入 $y$ （单位：万元）与广告支出 $x$ （单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为 $\hat{y} = 2.76 x + 5.44$ .
$x$
2
5
6
8
9
$y$
16
20
21
$m$
28
$\hat{y}$
10.96
19.24
22
27.52
30.28

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望；

(3)、已知 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ，且当 $R^{2} > 0.9$ 时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据 $\sum_{l = 1}^{5} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2} = 38.5$ ，判断经验回归方程的拟合效果是否良好.

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$x$	2	5	6	8	9
$y$	16	20	21	$m$	28
$\hat{y}$	10.96	19.24	22	27.52	30.28