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相关试卷

1、下列说法错误的有（）

A、若A与 $B$ 相互独立， $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{9}$ B、把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 C、从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件 $A =$ “至少有2个红球”，事件 $B =$ “都是白球”，则事件A与事件 $B$ 是互斥事件 D、甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为 $\frac{1}{3}$

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2、若函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 ω x + 2 \cos^{2} ω x (ω > 0, x \in R)$ ，又 $f (x_{1}) = 3$ ， $f (x_{2}) = - 1$ 且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{3}{4} π$ ，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、4

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3、已知向量 $\vec{a} = (4, m)$ ， $\vec{b} = (m - 2, 2)$ ，则“ $m = 4$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、已知 $i$ 是虚数单位， $3 + 5 i = (1 + i) z$ ，则 $|z + 1| =$ （）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{37}$ C、 $\sqrt{26}$ D、 $9$

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5、已知集合 $A = \{x |2 x^{2} - 3 x > 0\}$ ， $B = \{x |\ln (x - 1) < 0\}$ 则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(\frac{2}{3}, 2)$ B、 $[0, \frac{2}{3})$ C、 $(0, 2)$ D、 $(1, \frac{3}{2}]$

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6、在平面直角坐标系中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $A$ 为椭圆 $C$ 上的任一点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ，且椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，动直线 $l : x + m y + n = 0$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，交 $x$ 轴于点 $G$ ，点 $G$ 关于 $O$ 的对称点是 $H$ ，以 $H$ 为圆心作圆与 $y$ 轴相切，设 $D$ 为 $A B$ 的中点，过 $D$ 作圆的两条切线，切点分别为 $E$ ， $F$ ，求 $∠ E D F$ 的最小值.

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7、将菱形 $A B C D$ 绕直线 $A D$ 旋转到 $A E F D$ 的位置，使得二面角 $E - A D - B$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，连接 $C F$ ， $B E$ ，得到几何体 $A B E - D C F$ ，已知 $A B = 4$ ， $∠ D A B = \frac{π}{3}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A F$ ， $B D$ 上的动点，且 $\frac{A M}{A F} = \frac{B N}{B D} = λ (0 < λ < 1)$ .

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、证明： $M N / /$ 平面 $C D F$ ；

(3)、当 $M N$ 的长度最小时，求直线 $M N$ 与平面 $M B C$ 所成角.

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8、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A^{'} = 3, ∠ B A D = 90^{\circ},$ $∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 60^{\circ} .$

(1)、求证： $B D ⊥ A C^{'}$ ；

(2)、求 $A C^{'}$ 的长

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9、已知直线 $l : x - 2 y - 3 = 0$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $M (3, - 1)$ ，且 $l_{1} ⊥ l$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2} ∥ l$ ，且直线 $l_{2}$ 与直线 $l$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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10、如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2$ ， E为 $A B$ 边上的点，现将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折至 $△ A^{'} D E$ ，使得点 $A^{'}$ 在平面 $E B C D$ 上的射影在 $C D$ 上，且直线 $A^{'} D$ 与平面 $E B C D$ 所成的角为 $30 °$ ，则线段 $A E$ 的长为.

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11、已知直线 $x - m y - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $△ A B C$ 面积为2，则 $m$ 值是.

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12、已知点 $M (1, - \sqrt{3})$ ， $N (- \sqrt{3}, 1)$ ，则直线 $M N$ 的倾斜角为.

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13、数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 1 + |x| y$ 就是其中之一，下列几个结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、曲线 $C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D、曲线 $C$ 上任意一点到原点的距离都不超过 $\sqrt{2}$

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14、某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得6分，有错误选项不得分.若答案是两项，选对一项得3分，选对两项得6分，答案是三项，选对一项得2分，选对两项得4分，选对三项得6分.”已知某选择题的正确答案是AB，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）

A、甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是 $\frac{1}{2}$ B、乙同学仅随机选两个选项，能得6分的概率是 $\frac{1}{6}$ C、丁同学随机至少选择两个选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{1}{10}$ D、丙同学随机选择选项，但不选四项，能得分的概率是 $\frac{2}{7}$

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4 m} + \frac{y^{2}}{6 - 4 m} = 1$ ，则（）

A、椭圆的长轴长为 $4 \sqrt{m}$ B、当 $m = 1$ 时，椭圆的焦点在 $x$ 轴上 C、椭圆的焦距可能为6 D、椭圆的短轴长与长轴长的平方和为定值

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16、已知直线 $l_{1} : x + m y - 3 m - 1 = 0$ 与 $l_{2} : m x - y - 3 m + 1 = 0$ 相交于点 $M$ ，线段 $A B$ 是圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 的一条动弦，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值为（）

A、 $16 + 4 \sqrt{2}$ B、 $6 - 4 \sqrt{2}$ C、 $5 + 6 \sqrt{3}$ D、 $20 \sqrt{5} - 1$

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17、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 为球 $O$ 的球面上的三个点，圆 $O_{1}$ 为以 $A B$ 为直径的 $△ A B C$ 的外接圆，若圆 $O_{1}$ 的面积为 $4 π$ ， $A B = O O_{1}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $80 π$ B、 $64 π$ C、 $36 π$ D、 $32 π$

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为 $2$ ，若直线 $y = - \sqrt{3} (x + 1)$ 与椭圆交于点 $M$ ，满足 $∠ M F_{1} F_{2} = 2 ∠ M F_{2} F_{1}$ ，则离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots x_{10}$ ，满足： $x_{i} - x_{i - 1} = 2 (2 \leq i \leq 10)$ ，若去掉 $x_{1}$ ， $x_{10}$ 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（）

A、中位数不变 B、平均数不变 C、若 $x_{1} = 1$ ，则数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots x_{10}$ 的第80百分位数为15 D、方差变小

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20、在空间直角坐标系中，已知点 $P (x, y, z)$ 下列叙述中正确的是（）
①点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点是 $P_{1} (x, - y, z)$
②点 $P$ 关于 $y O z$ 平面的对称点是 $P_{2} (- x, y, z)$
③点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点是 $P_{3} (x, - y, z)$
④点 $P$ 关于原点的对称点是 $P_{4} (- x, - y, - z)$

A、①② B、①③ C、②④ D、②③

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