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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 3), \vec{b} = (m, - 6)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、9 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 9$

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2、约数，又称因数.它的定义如下：若整数 $a$ 除以整数 $m (m \neq 0)$ 除得的商正好是整数而没有余数，我们就称 $a$ 为 $m$ 的倍数，称 $m$ 为 $a$ 的约数.设正整数 $a$ 共有 $k$ 个正约数，即为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k - 1}, a_{k} (a_{1} < a_{2} < \dots < a_{k})$ .

(1)、当 $k = 4$ 时，若正整数 $a$ 的 $k$ 个正约数构成等比数列，请写出一个 $a$ 的值；

(2)、当 $k \geq 4$ 时，若 $a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, \dots, a_{k} - a_{k - 1}$ 构成等比数列，求正整数 $a$ ；

(3)、记 $A = a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{k - 1} a_{k}$ ，求证： $A < a^{2}$ .

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3、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 在椭圆上．

(1)、求E的方程；

(2)、过点 $K (- 1, 0)$ 作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 交E于A，B两点， $l_{2}$ 交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究： $△ O M N$ 与 $△ K M N$ 的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x + b$ ，当 $x = - 2$ 时， $y = f (x)$ 有极大值，且 $f (4) = \frac{28}{3}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、在（1）的条件下，讨论函数 $f (x)$ 在 $[- 4, m]$ 上的最大值．

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5、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 为正三角形， $D$ 、 $E$ 分别为 $B C$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $B B_{1} ⊥ A C$ ，求 $D E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的正弦值．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知 $b_{n} = a_{n}^{2} + \log_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

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7、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f (x) > f^{'} (x)$ ，若 $f (0) = 0$ ，则不等式 $f (2 x^{2} - 5 x - 7) > 0$ 的解集为.

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 2, 0)$ ， $F_{2} (2, 0)$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ， P为双曲线C上一点，且满足 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则 $| P F_{1} | =$ ．

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9、在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为．

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10、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，动点P，Q分别在线段 $C_{1} D$ ， $A C$ 上，则下列命题正确的是（）

A、直线BC与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角等于 $\frac{π}{4}$ B、点 $C$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\sqrt{2}$ C、异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ . D、线段 $P Q$ 长度的最小值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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11、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\{a_{n}^{2}\}$ 为等比数列 B、 $\{\lg |a_{n}|\}$ 为等差数列 C、若 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则 $q > 1$ D、若 $S_{n} = 3^{n} + r$ ，则 $r = - 1$

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12、设 $F$ 为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点， $A 、 B 、 C$ 为该抛物线上三点．若 $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C} = \vec{0}$ ，则 $| F A | + | F B | + | F C | =$ （）

A、9 B、6 C、4 D、3

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13、已知函数 $f (x) = \ln (x - 2) + \ln (4 - x)$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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14、如图，已知四面体 $A B C D$ 的棱长都是2，点 $M$ 为棱 $A D$ 的中点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{C M}$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 2$ D、2

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n+1} = k a_{n} - 1 (n \in N^{*}, k \in R^{*})$ ，若数列 $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列，则k值等于（）

A、1 B、 $-$ 1 C、 $-$ 2 D、2

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16、在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 $h$ （单位：m）与起跳后的时间 $t$ （单位： $s$ ）存在函数关系 $h (t) = - 4.9 t^{2} + 2.8 t + 11$ ，则该运动员在 $t = 2 s$ 时的瞬时速度为（）

A、 $- 16.8 m / s$ B、 $16.8 m / s$ C、 $- 9 m / s$ D、 $9 m / s$

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17、等比数列 $\frac{2}{3}$ ， $a$ ， $\frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{12}$ 中 $a$ 的值等于（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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18、若函数 $α (x)$ 有且仅有一个极值点 $m$ ，函数 $β (x)$ 有且仅有一个极值点 $n$ ，且 $m > n$ ，则称 $α (x)$ 与 $β (x)$ 具有性质 $α - β / / m > n$ ．

(1)、函数 $φ_{1} (x) = \sin x - x^{2}$ 与 $φ_{2} (x) = e^{x} - x$ 是否具有性质 $φ_{1} - φ_{2} / / x_{0} > 0$ ？并说明理由．

(2)、已知函数 $f (x) = a e^{x} - \ln (x + 1)$ 与 $g (x) = \ln (x + a) - e^{x} + 1$ 具有性质 $f - g / / x_{1} > x_{2}$ ．
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $|g (x_{1})| > |x_{2}|$ ．

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19、设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线为 $x - 3 y = 0$ ，焦点到渐近线的距离为1． $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左、右顶点，直线 $l$ 过点 $T (2, 0)$ 交双曲线于点 $M$ ， $N$ ，记直线 $M A_{1}$ ， $N A_{2}$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求证 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值．

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20、小明进行足球射门训练，已知小明每次将球射入球门的概率为0.5．

(1)、若小明共练习4次，求在射入2次的条件下，第一次没有射入的概率；

(2)、若小明进行两组练习，第一组射球门2次，射入 $X_{1}$ 次，第二组射球门3次，射入 $X_{2}$ 次，求 $E (X_{1} + X_{2})$ ．

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