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相关试卷

1、“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数 $p$ 满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数 $p$ 按照从小到大的顺序排成一列，构成数列 $\{a_{n}\}$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + a_{n} + 13}{n}$ 的最小值为（）

A、19 B、17 C、16 D、15

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2、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为1%，第2，3台加工的次品率均为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．任取一个零件，则它是次品的概率为（）

A、0.0175 B、0.017 C、0.0145 D、0.014

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3、已知非零实数a，b，c不全相等，则下列结论正确的是（）

A、若a，b，c成等差数列，则 $\frac{1}{a}$ ， $\frac{1}{b}$ ， $\frac{1}{c}$ 构成等差数列 B、若a，b，c成等比数列，则 $2^{a}$ ， $2^{b}$ ， $2^{c}$ 构成等差数列 C、若a，b，c成等差数列，则 $2^{a}$ ， $2^{b}$ ， $2^{c}$ 构成等比数列 D、若a，b，c成等比数列，则 $\log_{2} a$ ， $\log_{2} b$ ， $\log_{2} c$ 构成等比数列

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4、如图，直线 $l$ 和圆 $C$ ，当 $l$ 从 $l_{0}$ 开始在平面上按顺时针方向绕点 $O$ 匀速转动（转动角度不超过 $90 °$ ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 $S$ 是时间 $t$ 的函数．这个函数的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5、已知随机变量 $Y = 3 X + 2$ ，且 $D (Y) = 18$ ，则 $D (X) =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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6、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $a_{1} = - 11$ ， $S_{3} = - 21$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差为（）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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7、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $i z + 2 = z - 2 i$ ，则 $|z| =$ ．

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8、已知非零复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，其共轭复数分别为 $\bar{z_{1}}$ ， $\bar{z_{2}}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $z_{1} + \bar{z_{1}} \in R$ B、 $z_{1} \cdot \bar{z_{1}} = {|z_{1}|}^{2}$ C、 $\bar{z_{1}} \cdot z_{2} = z_{1} \cdot \bar{z_{2}}$ D、 $z_{1}^{2} = {|z_{1}|}^{2}$

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9、设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“l”是“lm且ln”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知等边三角形 $A B C$ 的边长为1，设 $\vec{B C} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ ， $\vec{A B} = \vec{c}$ ，那么 $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} =$ （）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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11、过点 $A (3 ， - 1)$ 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 $.$

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12、佛山电视塔位于文华公园内，是佛山地标性建筑．某位高中生想运用所学知识测量验证一下高度，通过查阅资料获取了两种测量方案．
方案一（两次测角法）：如图一，在电视塔附近广场上的 $C$ 点测得电视塔顶部的仰角为 $α$ ，正对电视塔前进 $s$ 米后，到达 $D$ 点，在 $D$ 点测得电视塔顶部的仰角为 $β$ ，然后计算出电视塔 $A B$ 的高度．
方案二（镜面反射法）：如图二，在电视塔附近广场上，进行两个操作步骤：①将平面镜（大小合适，厚度忽略不计）置于地面 $M$ 上，人后退至从镜子中恰能看到电视塔的顶部位置，测量出人与镜子的距离为 $m_{1}$ 米；②正对电视塔，将镜子后移 $m$ 米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为 $m_{2}$ 米，然后计算出电视塔 $A B$ 的高度．
实际操作中，方案一测量数据为 $s = 106.4$ 米， $α = 39 °, β = 51 °$ ，测得电视塔高度为 $H_{1}$ ；方案二测量数据为 $m_{1} = 1.4$ 米， $m_{2} = 1.5$ 米， $m = 16$ 米，测得电视塔高度为 $H_{2}$ ；假设测量者的“眼高 $h$ ”都用1.6米．

(1)、用 $s, α, β, h$ 表示 $H_{1}$ ；

(2)、计算 $H_{1}, H_{2}$ 的实际测量值（参考数据： $\tan 39 ° \approx 0.8, \tan 51 ° = \frac{1}{\tan 39 °}$ ，结果保留整数）．

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13、如图， $P A$ 是四棱锥 $P - A B C D$ 的高， $A D // B C$ ， $A B = A D = A C = 6$ ， $P A = B C = 8, M$ 为线段 $A D$ 上一点， $A M = 2 M D, N$ 为 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $M N //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求四面体 $N - B C M$ 的体积．

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (1, 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 2 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{O A} = \vec{a} - \vec{b}, \vec{O B} = 3 \vec{a} - 2 \vec{b}, \vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ ，且 $A, B, C$ 三点共线，求实数 $m$ 的值．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = \sqrt{2}, A C = 4$ ， $∠ B A C = 45^{°}$ ， $D$ 为线段 $A C$ 上一动点，则 $\vec{C D} \cdot \vec{B D}$ 的最小值为．

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16、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知点 $G, H$ 分别在 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 上，且 $G H$ 经过 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心，点 $E, F$ 分别是 $A B, A C$ 的中点，且 $B, C, G, H$ 四点共面，则下列结论正确的是（）

A、 $E F / / G H$ B、 $G H / /$ 平面 $A_{1} E F$ C、 $\frac{G H}{E F} = \frac{3}{2}$ D、棱柱被平面 $A_{1} E F$ 截得的三棱锥 $A_{1} - A E F$ 与多面体 $B_{1} C_{1} A_{1} - B C F E$ 的体积之比为 $1 : 11$

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17、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = \sqrt{3} |\vec{a}|$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $\frac{3}{2} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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18、已知在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D, A B ⊥ A D$ ，且 $A B = 2 C D = 2, A D = \sqrt{3}$ ，则将四边形 $A B C D$ 绕直线 $A D$ 旋转一周后所形成的几何体的体积为（）

A、 $7 \sqrt{3} π$ B、 $5 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{7 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3} π}{3}$

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19、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上， $B D = 2 D C$ ，记 $\vec{A B} = \vec{m}, \vec{A D} = \vec{n}$ ，则 $\vec{A C} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{m} + \frac{3}{2} \vec{n}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{m} - \frac{1}{2} \vec{n}$ C、 $\frac{3}{2} \vec{m} + \frac{1}{2} \vec{n}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{m} + \frac{3}{2} \vec{n}$

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20、下列说法正确的是（）

A、如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面 B、如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线 C、如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b D、如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b $\notin$ α，那么b∥α

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