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相关试卷

1、为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x} = 2.1$ ，样本方差 $s^{2} = 0.01$ ，已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N (1.8, {0.1}^{2})$ ，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N (\bar{x}, s^{2})$ ，则（）（参考：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $P (Z < μ + σ) \approx 0.8413$ ）

A、 $P (X > 2) > 0.5$ B、 $P (X > 1.9) < 0.2$ C、 $P (Y > 2) > 0.5$ D、 $P (Y > 2) < 0.8$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{4 a_{n} + 1}$ ， $(n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $a_{n} = \frac{1}{n}$ B、 $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ C、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{4 n - 3}$ D、 $a_{n} = \frac{1}{4 n - 3}$

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3、对于函数 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $h (x)$ ，如果存在实数a，b，使得 $h (x) = a \cdot f_{1} (x) + b \cdot f_{2} (x)$ ，那么称函数 $h (x)$ 为 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 的生成函数．

(1)、已知 $f_{1} (x) = \sin x$ ， $f_{2} (x) = \cos x$ ， $h (x) = \sin (x - \frac{π}{6})$ ，是否存在实数a，b，使得 $h (x)$ 为 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 的生成函数？若不存在，试说明理由；

(2)、当 $a = b = 1$ ， $h (x) = e^{x}$ 时，是否存在奇函数 $f_{1} (x)$ ，偶函数 $f_{2} (x)$ ，使得 $h (x)$ 为 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 的生成函数？若存在，请求出 $f_{1} (x)$ 与 $f_{2} (x)$ 的解析式，若不存在，请说明理由；

(3)、设函数 $f_{1} (x) = \ln (x^{2} + 6 x + 5)$ ， $f_{2} (x) = \ln (2 x - m)$ ， $a = 1$ ， $b = - 1$ ，生成函数 $h (x)$ ，若函数 $h (x)$ 有唯一的零点，求实数 $m$ 的取值范围．

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4、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $2 b sin A = a tan B$ ；

(1)、求B；

(2)、若 $a + c = 2 b$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状.

(3)、若 $b = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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5、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ， D为BC的中点；
（1）求该三棱柱的体积与表面积；
（2）求三棱锥 $D - A B_{1} C_{1}$ 的内切球半径．

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6、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{C F} = 3 \vec{F D}$ .

(1)、若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，求 $3 x + 2 y$ 的值；

(2)、若 $|\vec{A B}| = 6, ∠ B A D = 60 °$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ .

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7、已知 $i$ 是虚数单位，当实数 $m$ 满足什么条件时，复数 $z = (m^{2} - 3 m) + (m^{2} - 5 m + 6) i$ 分别满足下列条件？

(1)、 $z$ 为实数；

(2)、 $z$ 为虚数；

(3)、 $z$ 为纯虚数；

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8、已知 $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使的 $D E = E F$ ，则 $\vec{A F} \cdot \vec{B C}$ 的值为．

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9、已知 $D$ 为 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上一点， $A D = 3 D C$ ， $A B = \sqrt{14}$ ， $∠ A D B = 2 ∠ D B C = \frac{π}{3}$ ，则 $\sin ∠ A B C =$ ．

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{2} x, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 7) =$ ．

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11、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = B C = 1$ ， $∠ A B C = 120^{°}$ ，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 的对角线交点 $O$ ，点 $E$ 是侧棱 $B B_{1}$ 上的一个动点，下列结论正确的是（）

A、直三棱柱的侧面积是 $4 + 2 \sqrt{3}$ B、直三棱柱的外接球表面积是 $4 π$ C、三棱锥 $E - A A_{1} O$ 的体积与点 $E$ 的位置无关 D、 $A E + E C_{1}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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12、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ ，其部分图象如图所示，则下列关于 $f (x)$ 的结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{8})$ B、 $f (x)$ 在区间 $[π, 2 π]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度可以得到函数 $g (x) = 2 sin (\frac{1}{2} x)$ 图象

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13、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为O，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C} ， |\vec{O A}| = |\vec{A B}| ，$ 则向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{B C}$

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = a x + 1$ ，若 $f (- 3) = 8$ ，则不等式 $f (x) > \frac{1}{4}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - \frac{5}{12}) \cup (0, \frac{1}{4})$ B、 $(- \frac{5}{12}, 0) \cup (0, \frac{1}{4})$ C、 $(- \infty, - \frac{5}{12}) \cup (\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(- \frac{5}{12}, 0) \cup (\frac{1}{4}, + \infty)$

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15、已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为圆心角为 $\frac{π}{2}$ 的扇形，则该圆锥的底面半径为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{2}$

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16、如图，一个水平放置的三角形 $A B O$ 的斜二测直观图是等腰直角三角形 $A^{'} B^{'} O^{'}$ ，若 $B^{'} A^{'}$ = $B^{'} O^{'}$ =2，那么原三角形 $A B O$ 的周长是（）

A、 $4 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2} + 4$ D、 $4 \sqrt{2} + 8$

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17、已知 $\vec{a} = (2, 3)$ ， $2 \vec{a} + \vec{b} = (6, 2)$ ，则 $\vec{b} =$ （）

A、 $(2, - 4)$ B、 $(- 2, 4)$ C、 $(2, - \frac{1}{2})$ D、 $(- 2, \frac{1}{2})$

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18、下列说法错误的个数为（）
①已知 $X \sim N (10, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 8) = 0.9$ ，则 $P (8 \leq X \leq 12) = 0.8$
②已知 $X ~ B (5, \frac{1}{3})$ ，则 $E (X) = \frac{5}{3}, D (X) = 0.9$
③投掷一枚均匀的硬币5次，已知正面向上不少于3次，则出现5次正面向上的概率为 $\frac{1}{16}$

A、0 B、1 C、2 D、3

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19、已知由样本数据点集合 $\{(x_{i}, y_{i}) ∣ i = 1, 2, \dots, 20\}$ 其中 $\bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 3$ ，求得的回归直线方程 $l_{1} : \hat{y} = 1.5 x + 0.5$ 记此模型对应的相关指数为 $R_{1}^{2}$ . 观察残差图发现：除了数据点（1.2，2.2）和（4.8，7.8）明显偏离横轴，其余各点均密集均匀分布，剔除这两个数据点后重新求得的回归直线方程 $l_{2} : \hat{y} = 1.2 x + \hat{a}$ ，记此模型对应的相关指数为 $R_{2}^{2}$ ，则下列结论中正确的是（）

A、变量x与y正相关 B、记 $\bar{y} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} y_{i}$ ，则 $\bar{y} = 5$ C、 $R_{1}^{2} > R_{2}^{2}$ D、 $\hat{a} = 1.4$

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20、英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $n (n \in N^{*})$ 阶导数都存在时， $f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{(3)} (0)}{3!} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} + \cdot \cdot \cdot$ ．注： $f^{″} (x)$ 表示 $f (x)$ 的2阶导数，即为 $f^{'} (x)$ 的导数， $f^{(n)} (x) (n \geq 3)$ 表示 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.

(1)、根据该公式估算 $sin \frac{1}{2}$ 的值，精确到小数点后两位；

(2)、由该公式可得： $cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdot \cdot \cdot$ ．当 $x \geq 0$ 时，试比较 $cos x$ 与 $1 - \frac{x^{2}}{2}$ 的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{(n + k) tan \frac{1}{n + k}} > n - \frac{1}{4 n + 2}$ .

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